Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int cos theta sen^6 theta d theta

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos sen theta e cos theta , podemos então usar a mudança de variável:

u = sen theta

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos theta d theta

Vamos agora fazer a substuição:

int cos theta sen^6 theta d theta = int u^6 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^6 d u = (u^(6 + 1))/(6 + 1) = (u^7)/(7) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = sen theta :

int cos theta sen^6 theta d theta = int u^6 d u = (u^7)/(7) + C = (sen^7 theta)/(7) + C

Resposta

int cos theta sen^6 theta d theta = (sen^7 theta)/(7) + C

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