Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (e^x)/(e^x + 1) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um e^x no denominador e no numerador, como a derivada de e^x é e^x , podemos então usar a mudança de variável:

u = e^x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = e^x + 0 d x = e^x d x

Vamos agora fazer a substuição:

int (e^x)/(e^x + 1) d x = int (1)/(u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = e^x + 1 :

int (e^x)/(e^x + 1) d x = int (1)/(u) d u = ln |u| + C = ln |e^x + 1| + C

Como e^x + 1 > 0 , podemos tirar o módulo:

int (1)/(u) d u = ln |e^x + 1| + C = ln (e^x + 1) + C

Resposta

int (e^x)/(e^x + 1) d x = ln (e^x + 1) + C

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