Calcule a integral indefinida:

∫ 4 - x 2 d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

x = 2 sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ x 2

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 4 - x 2 d x = ∫ 4 - 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 4 1 - sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 4 1 - sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 4 cos 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2

Assim ficamos com:

∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 2 + 2 cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ 2 d θ + ∫ 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Com a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 d θ = 2 θ + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

u = 2 θ

d u = 2 d θ

Substituindo:

∫ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ 2 cos ⁡ u 2 d u = ∫ cos ⁡ u d u

Agora usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

E agora plicando:

∫ cos ⁡ u d u = sen ⁡ u + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

∫ 4 - x 2 d x = ∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 d θ + ∫ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 2 θ + sen ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ 4 - x 2 d x = 2 θ + sen ⁡ u + C = 2 arcsen ⁡ x 2 + sen ⁡ 2 θ + C

Temos que x = 2 sen ⁡ θ , ou seja, sen ⁡ θ = x 2 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos ⁡ θ e sen ⁡ 2 θ :

Assim:

cos ⁡ θ = 4 - x 2 2

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 2 ⋅ x 2 ⋅ 4 - x 2 2 = x 4 - x 2 2  

E por último substituindo:

∫ 4 - x 2 d x = 2 arcsen ⁡ x 2 + sen ⁡ 2 θ + C = 2 arcsen ⁡ x 2 + x 4 - x 2 2 + C

Resposta

∫ 4 - x 2 d x = 2 arcsen ⁡ x 2 + x 4 - x 2 2 + C

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