Calcule a integral indefinida:

∫ x 3 x 2 - 9   d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 - a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 3 sec ⁡ θ

d x = 3 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x 3 x 2 - 9   d x = ∫ 3 sec ⁡ θ 3 3 sec ⁡ θ 2 - 9   3 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 81 sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 9   d θ =

= ∫ 81 sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 1   d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 81 sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ 9 sec 2 ⁡ θ - 1   d θ = ∫ 81 sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ 9 tg 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 81 sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ 3 tg ⁡ θ   d θ = 27 ∫ sec 4 ⁡ θ d θ

Passo 2

Para calcular essa integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Aplicando vamos ter:

∫ sec 4 ⁡ θ d θ = 1 4 - 1 sec 4 - 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 4 - 2 4 - 1 ∫ sec 4 - 2 ⁡ θ d θ

∫ sec 4 ⁡ θ d θ = 1 3 sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 2 3 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

2 3 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ = 2 3 tg ⁡ θ + C

Vamos juntar tudo:

∫ x 3 x 2 - 9   d x = 27 ∫ sec 4 ⁡ θ d θ = 27 1 3 sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 2 3 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ =

= 27 1 3 sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 2 3 tg ⁡ θ + C = 9 sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 18 tg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 3 sec ⁡ θ , ou seja, sec ⁡ θ = x 3 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg ⁡ θ :

Assim o valor de tg ⁡ θ é:

tg ⁡ θ = x 2 - 9 3

Pronto, ficamos então com:

∫ x 3 x 2 - 9   d x = 9 sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 18 tg ⁡ θ + C = 9 x 3 2 x 2 - 9 3 + 18 x 2 - 9 3 + C =

= x 2 x 2 - 9 3 + 6 x 2 - 9 + C

Resposta

∫ x 3 x 2 - 9   d x = x 2 x 2 - 9 3 + 6 x 2 - 9 + C

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