Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(x^3 - 4 x^2)

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (d x)/(x^3 - 4 x^2) d x = int (1)/(x^2 (x - 4)) d x

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

(1)/(x^2 (x - 4)) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x - 4)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x^2 (x - 4) :

1 = A x (x - 4) + B (x - 4) + C x^2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x (x - 4) + B (x - 4) + C x^2

1 = A (x^2 - 4 x) + B (x - 4) + C x^2

1 = x^2 (A + C) + x (- 4 A + B) + (- 4 B)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + C = 0],[- 4 A + B = 0],[- 4 B = 1]]) -> {[[C = - A],[A = (B)/(4)],[B = - (1)/(4)]]) -> {[[C = - A = (1)/(16)],[A = (1)/(4) (- (1)/(4)) = - (1)/(16)],[B = - (1)/(4)]])

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (d x)/(x^3 - 4 x^2) d x = int (- (1)/(16))/(x) + (- (1)/(4))/(x^2) + ((1)/(16))/(x - 4) d x =

= - (1)/(16) int (1)/(x) d x - (1)/(4) int (1)/(x^2) d x + (1)/(16) int (1)/(x - 4) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(16) int (1)/(x) d x = - (1)/(16) ln |x| + C

Passo 4

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

- (1)/(4) int (1)/(x^2) d x = - (1)/(4) int x^(- 2) d x = - (1)/(4) * (x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = - (1)/(4) * (x^(- 1))/(- 1) + C = (1)/(4 x) + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição por último na terceira:

r = x - 4

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(16) int (1)/(x - 4) d x = (1)/(16) int (1)/(r) d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(16) int (1)/(r) d r = (1)/(16) ln |r| + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

- (1)/(16) int (1)/(x) d x - (1)/(4) int (1)/(x^2) d x + (1)/(16) int (1)/(x - 4) d x = - (1)/(16) ln |x| + (1)/(4 x) + (1)/(16) ln |r| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (d x)/(x^3 - 4 x^2) d x = - (1)/(16) ln |x| + (1)/(4 x) + (1)/(16) ln |r| + C = - (1)/(16) ln |x| + (1)/(4 x) + (1)/(16) ln |x - 4| + C

Resposta

int (d x)/(x^3 - 4 x^2) d x = - (1)/(16) ln |x| + (1)/(4 x) + (1)/(16) ln |x - 4| + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int (5 x^2 + 3 x - 2)/(x^3 + 2 x^2) d x
Calcule a integral. ∫ x - 9 x + 5 x - 2 d x
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma fração racional e então calcule a integral. ∫ 1 x x + 1 d x
Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7). Não determine os valores númericos dos coeficientes. 5 .a x 4 x 4 - 1b t 4 + t 2 + 1 t 2 + 1 t 2 + 4 2
Faça uma substituição para expressar o integrando como função racional e então calcule a integral ∫ e 2 x e 2 x + 3 e x + 2 d x