Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (2 x + 1)/(2 x^2 + 3 x - 2) d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco, vamos dividir o numerador e o denominador por 2 :

int (2 x + 1)/(2 x^2 + 3 x - 2) d x = int ((2 x + 1)/(2))/((2 x^2 + 3 x - 2)/(2)) d x = int ((1)/(2) (2 x + 1))/(x^2 + (3 x)/(2) - 1) d x = (1)/(2) int (2 x + 1)/((x - (1)/(2)) (x + 2)) d x

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(2 x + 1)/((x - (1)/(2)) (x + 2)) = (A)/(x - (1)/(2)) + (B)/(x + 2)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - (1)/(2)) (x + 2) :

2 x + 1 = A (x + 2) + B (x - (1)/(2))

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

2 x + 1 = A (x + 2) + B (x - (1)/(2))

2 x + 1 = A x + 2 A + B x - (1)/(2) B

2 x + 1 = x (A + B) + (2 A - (1)/(2) B)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 2],[2 A - (1)/(2) B = 1]])

Vamos isolar o A na primeira e substituir na segunda:

A = 2 - B

2 A - (1)/(2) B = 1 -> 2 (2 - B) - (1)/(2) B = 1 -> 2 (2 - B) - (1)/(2) B = 1 -> 4 - 2 B - (1)/(2) B = 1 ->

-> - 2 B - (1)/(2) B = 1 - 4 -> (- 4 B - B)/(2) = - 3 -> (- 5 B)/(2) = - 3 -> B = (6)/(5)

Assim o valor de A é:

A = 2 - B = 2 - (6)/(5) = (10 - 6)/(5) = (4)/(5)

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

(1)/(2) int (2 x + 1)/((x - (1)/(2)) (x + 2)) d x = (1)/(2) int ((4)/(5))/(x - (1)/(2)) + ((6)/(5))/(x + 2) d x = (1)/(2) int (4)/(5 (x - (1)/(2))) + (6)/(5 (x + 2)) d x =

= (1)/(2) int (4)/(5 (x - (1)/(2))) d x + (1)/(2) int (6)/(5 (x + 2)) d x = (2)/(5) int (1)/(x - (1)/(2)) d x + (3)/(5) int (1)/(x + 2) d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - (1)/(2)

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(2)/(5) int (1)/(x - (1)/(2)) d x = (2)/(5) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(2)/(5) int (1)/(u) d u = (2)/(5) ln |u| + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(3)/(5) int (1)/(x + 2) d x = (3)/(5) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(3)/(5) int (1)/(v) d v = (3)/(5) ln |v| + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

(1)/(3) int (1)/(x - (1)/(2)) d x + (3)/(5) int (1)/(x + 2) d x = (2)/(5) ln |u| + (3)/(5) ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (2 x + 1)/(2 x^2 + 3 x - 2) d x = (2)/(5) ln |u| + (3)/(5) ln |v| + C = (2)/(5) ln |x - (1)/(2)| + (3)/(5) ln |x + 2| + C

Resposta

int (2 x + 1)/(2 x^2 + 3 x - 2) d x = (2)/(5) ln |x - (1)/(2)| + (3)/(5) ln |x + 2| + C

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