Calcule a integral indefinida.

∫ 2 x + 1 2 x 2 + 3 x - 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco, vamos dividir o numerador e o denominador por 2 :

∫ 2 x + 1 2 x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ 2 x + 1 2 2 x 2 + 3 x - 2 2 d x = ∫ 1 2 2 x + 1 x 2 + 3 x 2 - 1 d x = 1 2 ∫ 2 x + 1 x - 1 2 x + 2 d x

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

2 x + 1 x - 1 2 x + 2 = A x - 1 2 + B x + 2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 1 2 x + 2 :

2 x + 1 = A x + 2 + B x - 1 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

2 x + 1 = A x + 2 + B x - 1 2

2 x + 1 = A x + 2 A + B x - 1 2 B

2 x + 1 = x A + B + 2 A - 1 2 B

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 2 2 A - 1 2 B = 1

Vamos isolar o A na primeira e substituir na segunda:

A = 2 - B

2 A - 1 2 B = 1 → 2 2 - B - 1 2 B = 1 → 2 2 - B - 1 2 B = 1 → 4 - 2 B - 1 2 B = 1 →

→ - 2 B - 1 2 B = 1 - 4 → - 4 B - B 2 = - 3 → - 5 B 2 = - 3 → B = 6 5

Assim o valor de A é:

A = 2 - B = 2 - 6 5 = 10 - 6 5 = 4 5

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

1 2 ∫ 2 x + 1 x - 1 2 x + 2 d x = 1 2 ∫ 4 5 x - 1 2 + 6 5 x + 2 d x = 1 2 ∫ 4 5 x - 1 2 + 6 5 x + 2 d x =

= 1 2 ∫ 4 5 x - 1 2 d x + 1 2 ∫ 6 5 x + 2 d x = 2 5 ∫ 1 x - 1 2 d x + 3 5 ∫ 1 x + 2 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 1 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 5 ∫ 1 x - 1 2 d x = 2 5 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

2 5 ∫ 1 u d u = 2 5 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

3 5 ∫ 1 x + 2 d x = 3 5 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

3 5 ∫ 1 v d v = 3 5 ln ⁡ v + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

1 3 ∫ 1 x - 1 2 d x + 3 5 ∫ 1 x + 2 d x = 2 5 ln ⁡ u + 3 5 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 2 x + 1 2 x 2 + 3 x - 2 d x = 2 5 ln ⁡ u + 3 5 ln ⁡ v + C = 2 5 ln ⁡ x - 1 2 + 3 5 ln ⁡ x + 2 + C

Resposta

∫ 2 x + 1 2 x 2 + 3 x - 2 d x = 2 5 ln ⁡ x - 1 2 + 3 5 ln ⁡ x + 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados