Calcule a integral indefinida:

∫ cos ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de cossenos com argumentos diferentes. Para resolver esse tipo de questão presisamos separar esses cossenos, ok? Vamos usar a relação:

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ ( a - b ) + cos ⁡ ( a + b ) 2

No nosso caso, a = 4 x e b = 3 x , ficamos então com:

∫ cos ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x = ∫ cos ⁡ ( 4 x - 3 x ) + cos ⁡ ( 4 x + 3 x ) 2 d x

= 1 2 ∫ cos ⁡ x + cos ⁡ 7 x d x

Pronto! Agora podemos resolver.

Passo 2

Para resolver essa integral vamos precisar saber:

∫ cos ⁡ α x d x = sen ⁡ α x α + C             α ≠ 0

Separando em duas integrais, nós ficamos com:

∫ cos ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ x + cos ⁡ 7 x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ x d x + ∫ cos ⁡ 7 x d x

= 1 2 sen ⁡ x + sen ⁡ 7 x 7 + C

Não se esqueça da constante no final.

Resposta

∫ cos ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x = 1 2 sen ⁡ x + sen ⁡ 7 x 7 + C

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