Calcule a integral

31. ∫ tan ⁡ 4 x sec 4 ⁡ 4 x d x

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

sec 2 ⁡ u = 1 + tan 2 ⁡ u

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

∫ tan ⁡ 4 x sec 4 ⁡ 4 x d x = ∫ tan ⁡ 4 x sec 2 ⁡ 4 x sec 2 ⁡ 4 x d x

E agora aplicamos a propriedade:

∫ tan ⁡ 4 x sec 2 ⁡ 4 x sec 2 ⁡ 4 x d x = ∫ tan ⁡ 4 x ( 1 + tan 2 ⁡ 4 x ) sec 2 ⁡ 4 x d x

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = tan ⁡ 4 x e d u = 4 sec 2 ⁡ 4 x d x

Fazemos uma pequena manipulação na integral, muitplicando o conteúdo por 4 e dividindo, do lado de fora, por 4:

∫ tan ⁡ 4 x ( 1 + tan 2 ⁡ 4 x ) sec 2 ⁡ 4 x d x = 1 4 ∫ tan ⁡ 4 x ( 1 + tan 2 ⁡ 4 x ) 4 sec 2 ⁡ 4 x d x

Agora, aplicamos na integral a substituição e vamos ter:

1 4 ∫ tan ⁡ 4 x ( 1 + tan 2 ⁡ 4 x ) 4 sec 2 ⁡ 4 x d x = 1 4 ∫ u ( 1 + ⁡ u 2 ) d u

Fazemos a distributiva e separamos a integral resultante em duas:

1 4 ∫ u ( 1 + ⁡ u 2 ) d u = 1 4 ∫ u d u + ∫ u 3 d u

Passo 3

Essas integrais se resolvem diretamente. Resolvendo elas na ordem que estão, temos:

∴ ∫ u d u = u 2 2 + C

Retornando à variável original:

u 2 2 + C = tan 2 ⁡ x 2 + C

Passo 4

∴ ∫ u 3 d u = u 4 4 + C

Retornando à variável original:

u 4 4 + C = tan 4 ⁡ x 4 + C

Passo 5

Retornamos aos colchetes que tínhamos com as duas integrais, no Passo 2. Resolvemos:

1 4 ∫ u d u + ∫ u 3 d u = 1 4 tan 2 ⁡ x 2 + tan 4 ⁡ x 4 + C

Como resposta, vamos ter:

∫ tan ⁡ 4 x sec 4 ⁡ 4 x d x = tan 2 ⁡ x 8 + tan 4 ⁡ x 16 + C

Resposta

∫ tan ⁡ 4 x sec 4 ⁡ 4 x d x = tan 2 ⁡ x 8 + tan 4 ⁡ x 16 + C

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