Calcule a integral indefinida:

∫ cos 3 ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 3 d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos uma divisão de potências de seno e cosseno. Para resolver, nós vamos efetuar primeiro uma manipulação utilizando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ u = 1 - sen 2 ⁡ u .

∫ cos 3 ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 3 d x = ∫ cos 2 ⁡ 3 x ⋅ cos ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 3 d x = ∫ ( 1 - sen 2 ⁡ 3 x ) cos ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 3 d x

Agora temos várias expressões de sen ⁡ 3 x e cos ⁡ 3 x d x . Isso indica uma substituição.

Passo 2

Faremos então a substituição:

u = sen ⁡ 3 x

E derivando temos:

d u = 3 cos ⁡ 3 x d x   → d u 3 = cos ⁡ 3 x d x

Perfeito! Apareceu justamente o que temos no numerador.

Passo 3

Agora nós trocamos a variável da integral e resolvemos.

∫ ( 1 - sen 2 ⁡ 3 x ) cos ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 3 d x = ∫ 1 - u 2 u 1 3 d u 3

= 1 3 ∫ 1 - u 2 d u u 1 3 = 1 3 ∫ 1 - u 2 u 1 3 d u = 1 3 ∫ u - 1 3 1 - u 2 d u

= 1 3 ∫ u - 1 3 - u - 1 3 + 2 d u = 1 3 ∫ u - 1 3 - u 5 3 d u

Vamos utilizar agora a integral de um polinômio:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1   + C                     n ≠ - 1

Ficamos então com:

1 3 ∫ u - 1 3 - u 5 3 d u = 1 3 u - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 - u 5 3 + 1 5 3 + 1 + C = 1 3 u 2 3 2 3 - u 8 3 8 3 + C

1 3 ∫ u - 1 3 - u 5 3 d u = u 2 3 2 - u 8 3 8 + C

Passo 4

Agora devemos voltar na variável x . Lembrando que a integral definida foi dada na variável x , então devemos dar a resposta nessa variável também. Sendo assim,

∫ cos 3 ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 3 d x = u 2 3 2 - u 8 3 8 + C

Com u = sen ⁡ 3 x , temos:

∫ cos 3 ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 3 d x = ( sen ⁡ 3 x ) 2 3 2 - ( sen ⁡ 3 x ) 8 3 8 + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

∫ cos 3 ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 3 d x = ( sen ⁡ 3 x ) 2 3 2 - ( sen ⁡ 3 x ) 8 3 8 + C

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