Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int x sec x tan x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,sec x tan x d x,v,=,,?],[u,=,x,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,sec x tan x d x,v,=,int sec x tan x d x =,sec x,+,C],[u,=,x,d,u,=,,1,d,x]]

Aqui nós precisávamos conhecer a integral de sec x tan x , basta lembrar que ( sec x ) ' = sec x tan x , ou seja, sec x é uma primitiva para o integrando.

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace x) underset(d v)(ubrace sec x tan x d x) = underset(u)(ubrace x) underset(v)(ubrace (sec x)) - int underset(v)(ubrace sec x) underset(d u)(ubrace 1 d x)

Aqui nós precisávamos conhecer a integral da sec x . Que é:

int sec x d x = ln | sec x + tan x | + C

Substituindo nós temos:

int x sec x tan x d x = x sec x - ln | sec x + tan x | + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int x sec x tan x d x = x sec x - ln | sec x + tan x | + C

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