Calcule a integral indefinida:

∫ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = sec ⁡ x tan ⁡ x d x v =   ? u = x d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = sec ⁡ x tan ⁡ x d x v = ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C u = x d u =   1 d x

Aqui nós precisávamos conhecer a integral de sec ⁡ x tan ⁡ x , basta lembrar que ( sec ⁡ x ) ' = sec ⁡ x tan ⁡ x , ou seja, sec ⁡ x é uma primitiva para o integrando.

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ x ⏟ u sec ⁡ x tan ⁡ x d x ⏟ d v = x ⏟ u sec ⁡ x ⏟ v - ∫ sec ⁡ x ⏟ v 1 d x ⏟ d u

Aqui nós precisávamos conhecer a integral da sec ⁡ x . Que é:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C

Substituindo nós temos:

∫ x sec ⁡ x tan ⁡ x   d x = x sec ⁡ x - ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ x sec ⁡ x tan ⁡ x   d x = x sec ⁡ x - ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C

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