Calcule a integral indefinida:

∫ x tan - 1 ⁡ x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e inversa trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a inversa trigonométrica. Teremos então:

d v = x v =   ? u = tan - 1 ⁡ d x d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = x d x v = ∫ x d x = x 2 2 + C u = tan - 1 ⁡ x d u = 1 1 + x 2 d x

Devemos lembrar que tan - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2 .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ tan - 1 ⁡ x ⏟ u ⋅ x d x ⏟ d v = tan - 1 ⁡ x ⏟ u x 2 2 ⏟ v - ∫ x 2 2 ⏟ v 1 1 + x 2 d x ⏟ d u

∫ tan - 1 ⁡ x ⋅ x d x = x 2 tan - 1 ⁡ x 2 - 1 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x

Agora precisamos resolver essa segunda integral que apareceu.

Passo 4

Para resolver ∫ x 2 1 + x 2 d x , faremos o seguinte:

∫ x 2 1 + x 2 d x = ∫ 1 + x 2 - 1 1 + x 2 d x = ∫ 1 + x 2 1 + x 2 d x + ∫ - 1 1 + x 2 d x

Perceba que eu somei 1 e tirei 1 que é o mesmo que somar 0 no numerador, daí conseguimos separar em duas integrais conhecidas.

∫ x 2 1 + x 2 d x = ∫ 1 d x - ∫ 1 1 + x 2 d x

∫ x 2 1 + x 2 d x = x - tan - 1 ⁡ x + C

Lembre que tan - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2 . É a primitiva que precisávamos.

Passo 5

Agora vamos substituir tudo na integral inicial:

∫ tan - 1 ⁡ x ⋅ x d x = x 2 tan - 1 ⁡ x 2 - 1 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x = x 2 tan - 1 ⁡ x 2 - 1 2 x - tan - 1 ⁡ x + C

∫ tan - 1 ⁡ x ⋅ x d x = x 2 tan - 1 ⁡ x - x + tan - 1 ⁡ x 2 + C

∫ x tan - 1 ⁡ x d x = ( x 2 + 1 ) tan - 1 ⁡ x - x 2 + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

∫ x tan - 1 ⁡ x d x = ( x 2 + 1 ) tan - 1 ⁡ x - x 2 + C

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