Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int x sen (x^2) d x

Passo 1

Bora calcular essa integral aqui:

int x sen (x^2) d x

Pra a gente fazer isso vamos precisar usar a Regra da Substituição. Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x^2 alí no seno, e um x fora da expressão, podemos então usar a mudança de variável:

u = x^2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Vamos agora fazer a substuição:

int x sen (x^2) d x = int (sen u)/(2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int sen x d x = - cos x + C

Agora é só aplicar:

int (sen u)/(2) d u = (1)/(2) int sen u d u = (1)/(2) * (- cos u) + C = (- cos u)/(2) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = x^2 :

int x sen (x^2) d x = int (sen u)/(2) d u = (- cos u)/(2) + C = (- cos (x^2))/(2) + C

Resposta

int x sen (x^2) d x = (- cos (x^2))/(2) + C

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