Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int sqrt(x) sen (1 + x^((3)/(2))) d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int sqrt(x) sen (1 + x^((3)/(2))) d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa!!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos x^((3)/(2)) multiplicando x^((1)/(2)) , podemos então usar a mudança de variável:

u = 1 + x^((3)/(2))

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + (3 x^((1)/(2)))/(2) d x :.

d u = (3 x^((1)/(2)))/(2) d x :.

x^((1)/(2)) d x = (2)/(3) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int sqrt(x) sen (1 + x^((3)/(2))) d x = int (2)/(3) sen u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá!!

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int sen x d x = - cos x + C

Agora é só aplicar:

int (2)/(3) sen u d u = (2)/(3) int sen u d u = - (2)/(3) cos u + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 1 + x^((3)/(2)) :

int sqrt(x) sen (1 + x^((3)/(2))) d x = int (2)/(3) sen u d u :.

int sqrt(x) sen (1 + x^((3)/(2))) d x = - (2)/(3) cos u + C :.

int sqrt(x) sen (1 + x^((3)/(2))) d x = - (2)/(3) cos (1 + x^((3)/(2))) + C

Resposta

int sqrt(x) sen (1 + x^((3)/(2))) d x = - (2)/(3) cos (1 + x^((3)/(2))) + C

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