Enunciado

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x .

9 x = y 2 + 18 ,       2 ≤ x ≤ 6

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva 9 x = y 2 + 18 em torno do eixo x , no intervalo 2 ≤ x ≤ 6 .

Pra calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo x , vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ a b 2 π y   1 + y ' 2   d x

Então, o que nós vamos fazer é isolar o y na nossa equação, calcular a derivada dele, elevar ao quadrado, somar 1 e colocar dentro da raiz. Depois, substituímos tudo na integral, com o intervalo a ,   b = [ 2 ,   6 ] e integramos para obter nossa área.

Vamos lá!

Passo 2

Antes de qualquer coisa precisamos isolar o y na nossa função:

9 x = y 2 + 18

y = 9 x - 18

Calculamos sua derivada utilizando a regra da cadeia:

y ' = 1 2 9 x - 18 ⋅ ( 9 )

y ' = 9 2 9 x - 18

Então, elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , temos:

1 + y ' 2 = 1 + 81 4 9 x - 18

Tirando o MMC do lado direito da equação:

1 + y ' 2 = 36 x - 72 + 81 4 9 x - 18

1 + y ' 2 = 36 x + 9 4 ( 9 x - 18 )

Simplificando, ficamos com:

1 + y ' 2 = 9 4 x + 1 4 ⋅ 9 x - 2

= 4 x + 1 4 ( x - 2 )

Passo 3

Desta forma, substituindo tudo na fórmula de área, temos:

A = 2 π   ∫ 2 6 3 x - 2 ⋅ 1 2 4 x + 1 x - 2   d x

Simplificando e colocando a constante do lado de fora da integral:

A = 3 π ∫ 2 6 4 x + 1   d x

Agora vamos fazer uma substituição simples para resolver essa integral. Fazendo u = 4 x + 1 , temos que d u = 4 d x . Além disso, nos intervalos, para x = 2 , u = 9 e para x = 6 , u = 25 .

Assim, ficamos com:

A = 3 π 4 ∫ 9 25 u   d u

Integrando em relação a u :

A = 3 π 4 ⋅ 2 3   u 3 9 25

Aplicando os limites de integração:

A = π 2 5 3 - 3 3

A = π 2 ( 125 - 27 )

Portanto:

A = 98 π 2

A = 49 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 49 π

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