Calcule a integral indefinida:

∫ sen ⁡ x ⋅ ln ⁡ ( cos ⁡ x ) d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (logarítmica e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

d v = sen ⁡ x d x v =   ? u = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = sen ⁡ x d x v = ∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C u = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) d u =   - sen ⁡ x cos ⁡ x d x

Aqui devemos lembrar que ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) ' = ( cos ⁡ x ) ' cos ⁡ x = - sen ⁡ x cos ⁡ x .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ⏟ u sen ⁡ x d x ⏟ d v = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ⏟ u - cos ⁡ x ⏟ v - ∫ - cos ⁡ x ⏟ v - sen ⁡ x cos ⁡ x d x ⏟ d u

∫ ln ⁡ cos ⁡ x ⋅ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - ∫ sen ⁡ x d x

∫ ln ⁡ cos ⁡ x ⋅ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - - cos ⁡ x + C

∫ ln ⁡ cos ⁡ x ⋅ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) + cos ⁡ x + C

∫ ln ⁡ cos ⁡ x ⋅ sen ⁡ x d x = cos ⁡ x ( 1 - ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

∫ ln ⁡ cos ⁡ x ⋅ sen ⁡ x d x = cos ⁡ x ( 1 - ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) + C

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