Calcule a integral:

∫ t sen h ⁡ m t d t

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e hiperbólica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = sen h ⁡ m t d t v =   ? u = t d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica\Hiperbólica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = senh ⁡ m t d t v = ∫ senh ⁡ m t d t = cosh ⁡ m t m + C ,           m ≠ 0 u = t d u =   1 d t

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ t ⏟ u senh ⁡ m t d t ⏟ d v = t ⏟ u cosh ⁡ m t m ⏟ v - ∫ cosh ⁡ m t m ⏟ v 1 d t ⏟ d u

∫ t senh ⁡ m t d t = t cosh ⁡ m t m - 1 m ∫ cosh ⁡ m t d t = t cosh ⁡ m t m - 1 m senh ⁡ m t m + C

∫ t senh ⁡ m t d t = t cosh ⁡ m t m - senh ⁡ m t m 2 + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ t senh ⁡ m t d t = t cosh ⁡ m t m - senh ⁡ m t m 2 + C

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