Calcule a integral indefinida

∫ sen ⁡ x d x 2 - cos 2 ⁡ x

Passo 1

∫ sen ⁡ x d x 2 - cos 2 ⁡ x

Aquele cos ⁡ x e sen ⁡ x está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = cos ⁡ x → d a = - sen ⁡ x d x → sen ⁡ x d x = - d a

Vamos ter:

∫ sen ⁡ x d x 2 - cos 2 ⁡ x = ∫ - d a 2 - a 2 = - ∫ d a 2 - a 2

Passo 2

- ∫ d a 2 - a 2

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

x 2 - 1

1 - x 2

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Vamos pegar o 2 - a 2 e tentar arrumá-lo:

2 - a 2

Primeiro, colocamos o 2 em evidência

2 - a 2 = 2 1 - a 2 2

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a sugstituição

a 2 2 = b 2

Que é o mesmo que

a 2 = b → a = 2 b

Assim:

d a = 2 d b

Substituindo na integral:

- ∫ 2 d b 2 1 - b 2 = - ∫ 2 d b 2 1 - b 2 = - ∫ d b 1 - b 2

Passo 3

Vamos para a integral em b

- ∫ d b 1 - b 2

Ela vai ser exatamente a integral da sen - 1 ⁡  

- ∫ d b 1 - b 2 = - sen - 1 ⁡ b + C

Voltando para a :

- sen - 1 ⁡ b + C = - sen - 1 ⁡ a 2 + C

Voltando para x

- sen - 1 ⁡ a 2 + C = - sen - 1 ⁡ cos ⁡ x 2 + C

Resposta

- sen - 1 ⁡ cos ⁡ x 2 + C

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