Calcule a integral indefinida:

∫ sen ⁡ 3 t - sen ⁡ 2 t 2 d t

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um quadrado de uma diferença e vamos precisar expandir isso para ver o que fazer, sendo assim:

∫ sen ⁡ 3 t - sen ⁡ 2 t 2 d t = ∫ ( sen 2 ⁡ 3 t - 2 sen ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t + sen 2 ⁡ 2 t ) d t

Agora eu vou separar em 3 integrais e vamos resolver uma de cada vez.

∫ sen ⁡ 3 t - sen ⁡ 2 t 2 d t = ∫ sen 2 ⁡ 3 t d t - ∫ 2 sen ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t d t + ∫ sen 2 ⁡ 2 t d t

Passo 2

Começando com ∫ sen 2 ⁡ 3 t d t , vamos ter que usar a relação:

sen 2 ⁡ a = 1 - cos ⁡ 2 a 2         com    a = 3 t

Ficamos então com:

∫ sen 2 ⁡ 3 t d t = ∫ 1 - cos ⁡ 6 t 2 d t = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 6 t d t = 1 2 ∫ 1 d t - ∫ cos ⁡ 6 t d t

Agora usamos a integral:

∫ cos ⁡ α t d t = sen ⁡ α t α + C             α ≠ 0

Resultando em:

∫ sen 2 ⁡ 3 t d t = 1 2 t - sen ⁡ 6 t 6 + C

O mesmo procedimento será feito com ∫ sen 2 ⁡ 2 t d t .

∫ sen 2 ⁡ 2 t d t = ∫ 1 - cos ⁡ 4 t 2 d t = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 4 t d t = 1 2 ∫ 1 d t - ∫ cos ⁡ 4 t d t

∫ sen 2 ⁡ 3 t d t = 1 2 t - sen ⁡ 4 t 4 + C

Fechou!

Passo 3

Agora para resolver ∫ 2 sen ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t d t , vamos precisar usar a relação:

sen ⁡ a sen ⁡ b = cos ⁡ ( a - b ) - cos ⁡ ( a + b ) 2

No nosso caso, a = 3 t e b = 2 t , ficamos então com:

2 ∫ cos ⁡ 3 t cos ⁡ 2 t d t = 2 ∫ cos ⁡ ( 3 t - 2 t ) - cos ⁡ ( 3 t + 2 t ) 2 d t

= ∫ cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t d t = ∫ cos ⁡ t d t - ∫ cos ⁡ 5 t d t

∫ 2 sen ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t d t = sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t 5 + C

Pronto!

Passo 4

Agora vamos substituir tudo na integral inicial.

∫ sen ⁡ 3 t - sen ⁡ 2 t 2 d t = ∫ sen 2 ⁡ 3 t d t - ∫ 2 sen ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t d t + ∫ sen 2 ⁡ 2 t d t

= 1 2 t - sen ⁡ 6 t 6 - sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t 5 + 1 2 t - sen ⁡ 4 t 4 + C

= t - sen ⁡ t - sen ⁡ 4 t 8 + sen ⁡ 5 t 5 - sen ⁡ 6 t 12 + C

Não se esqueça da constante, ela só entra no resultado final!

Resposta

∫ sen ⁡ 3 t - sen ⁡ 2 t 2 d t = t - sen ⁡ t - sen ⁡ 4 t 8 + sen ⁡ 5 t 5 - sen ⁡ 6 t 12 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados