Enunciado

Faça um esboço da função cotangente hiperbólica. Ache as equações das assíntotas.

Passo 1

Para montarmos esse esboço bem detalhado, temos que fazer o seguinte passo a passo:

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f ;

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

Vamos seguir essa lógica então para tgh ⁡ x

Lembrando que:

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Passo 2

Vamos para as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Passo 3

Agora vamos aos limites.

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → - ∞ ⁡ e x - e - x e x + e - x = e - ∞ - e + ∞ e - ∞ + e + ∞ = - ∞ ∞

Deu uma indeterminação, vamos dar uma lgebrizada ai para tentar resolver:

e x - e - x e x + e - x = e x - 1 e x e x + 1 e x = e 2 x - 1 e x e 2 x + 1 e x = e 2 x - 1 e 2 x + 1

Voltando para o limite:

lim x → - ∞ ⁡ e x - e - x e x + e - x = lim x → - ∞ ⁡ e 2 x - 1 e 2 x + 1 = e - ∞ - 1 e - ∞ + 1 = - 1 1 = - 1

Temos uam assíntota horizontal em

y = - 1

Passo 4

Agora vamos aos limites.

lim x → + ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ e x - e - x e x + e - x = lim x → + ∞ ⁡ e 2 x - 1 e 2 x + 1 = ∞ ∞

Opa, indetemirnação. Vamos usar L’Hospital para sair dessa

lim x → + ∞ ⁡ e 2 x - 1 e 2 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ e 2 x - 1 ' e 2 x + 1 ' = lim x → + ∞ ⁡ 2 e 2 x 2 e 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

Temos uam assíntota horizontal em

y = 1

Passo 5

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais porque a soma de exponencial não vai ser 0 nunca

Passo 6

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

f ' x = sech 2 ⁡ x

Como:

sech ⁡ x = 2 e x + e - x

Vamos ter

f ' x = 2 e x + e - x 2

Esse termo é positivo paras qualquer valor de x , então:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ R

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ R

Passo 7

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Como a função e sempre crescente, não teremos extremos.

Passo 8

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Vamos pegar

f ' x = sech 2 ⁡ x

Derivando

f ' ' x = 2 sech ⁡ x - sech ⁡ x tg ⁡ h

f ' ' x = - 2 sech 2 ⁡ x tgh ⁡ x

A secante hiperbólica é sempre positiva.

Vmaos olhar o sinal da tangente.

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Vamos ter que a derivada vai depende do sinal de e x - e - x

e x - e - x > 0 → e x > e - x → e 2 x > 1 → e x > 1 → x > 0

e x - e - x < 0 → e x < e - x → e 2 x < 1 → - 1 < e x < 1 → e x < 1 → x < 0

Vamos ter

f ' ' x > 0 ⟺ x ∈ 0 , + ∞

f ' ' x < 0 ⟺ x ∈ - ∞ , 0

Então:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ 0 , + ∞

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ - ∞ , 0

Isso também nos diz que x = 0 é um ponto de inflexao

Passo 9

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

Assíntotas horizontais:

y = 1 ,     s e   x → + ∞

y = - 1 ,     s e   x → - ∞

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ R

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ 0 , + ∞

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ - ∞ , 0

Ponto de inflexão: x = 0

O gráfico vai ficar:

Resposta

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Cada um os exercícios fornece um valor de s e n h x ou c o s h x . Utilize as definições e a identidade cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1 para determinar os valores das cinco funções hiperbólicas remanesce
Reescreva as expressões dos exercícios em termo das exponenciais e simplifique os resultados tanto quanto for possível.
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