Enunciado

Um dipolo elétrico consiste em duas cargas elétricas de modulos iguais e sinais opostos. Se as cargas forem q e - q e estiverem localizadas a uma distância d , então o campo elétrico E no ponto P na figura é

E = q D 2 - q D + d 2

Expandindo essa expressão para E como uma série de potências de d D , mostre que E é aproximadamente proporcional a 1 D 3 quando P está muito distante do dipolo.

Passo 1

Precisamos escrever a expressão

E = q D 2 - q D + d 2

De tal modo que possamos usar uma série de potências. Vamos escolher a série Binomial.

Assim, precisamos escrever essa expressão de E de tal modo que possamos ter

1 + x k

Nela.

Passo 2

Ok, vamos começar a manipular nossa expressão.

E = q D 2 - q D + d 2 = q D 2 - q D 2 1 + d D 2 2

Porque aí com essa jogada que fizemos aí em cima, a gente consegue colocar o q D 2 em evidencia:

E = q D 2 1 - 1 1 + d D 2 2 = q D 2 1 - 1 + d D 2 - 2

E aiiii, com isso, não sei se você tá vendo a mesma coisa que eu, mas isso aí em cima tem uma parada bastante promissora pro que a gente quer, que é escrever uma serie binomial.

Isso porque temos

1 + d D 2 - 2

Que quer dizer isso aqui

1 + x k

Onde

x = d D 2

k = - 2

Beleza?

Passo 3

Podemos então usar a série bonimial para expandir essa parte da expressão de E . Assim, temos:

1 + d D 2 - 2 = 1 - 2 d D + 2.3 2 ! d D 2 - 2.3 . 4 3 ! d D 3 + …

Substituindo isso na expressão de E que achamos ali no passo 2:

E = q D 2 1 - 1 1 + d D 2 2 = q D 2 1 - 1 + d D 2 - 2

E = q D 2 1 - 1 1 + d D 2 2 = q D 2 1 - 1 - 2 d D + 2.3 2 ! d D 2 - 2.3 . 4 3 ! d D 3 + …

E = q D 2 2 d D - 3 d D 2 + 4 d D 3 - …

Passo 4

Quando P está muito distante do dipolo, ou seja, quando D é muito grande, os termos 1 D e x p o e n t e s   g r a n d e s fica muito pequeno, logo podem ser desprezados, assim,

E ≈ q D 2 2 d D - 3 . 0 + 4 . 0 - …

E ≈ q D 2 2 d D

E ≈ 2 q d ∙ 1 D 3

Ou seja, E é proporcional a 1 D 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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