Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 33
Um dipolo elétrico consiste em duas cargas elétricas de modulos iguais e sinais opostos. Se as cargas forem e e estiverem localizadas a uma distância , então o campo elétrico no ponto na figura é
Expandindo essa expressão para como uma série de potências de , mostre que é aproximadamente proporcional a quando está muito distante do dipolo.
Passo 1
Precisamos escrever a expressão
De tal modo que possamos usar uma série de potências. Vamos escolher a série Binomial.
Assim, precisamos escrever essa expressão de de tal modo que possamos ter
Nela.
Passo 2
Ok, vamos começar a manipular nossa expressão.
Porque aí com essa jogada que fizemos aí em cima, a gente consegue colocar o em evidencia:
E aiiii, com isso, não sei se você tá vendo a mesma coisa que eu, mas isso aí em cima tem uma parada bastante promissora pro que a gente quer, que é escrever uma serie binomial.
Isso porque temos
Que quer dizer isso aqui
Onde
Beleza?
Passo 3
Podemos então usar a série bonimial para expandir essa parte da expressão de . Assim, temos:
Substituindo isso na expressão de que achamos ali no passo 2:
Passo 4
Quando está muito distante do dipolo, ou seja, quando é muito grande, os termos fica muito pequeno, logo podem ser desprezados, assim,
Ou seja, é proporcional a .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)