Enunciado

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

∫ t 1 + t ³ d t

Passo 1

Primeiro precisamos descobrir qual a série de potência de t 1 + t ³ , após encontra-lá podemos calcular a integral.

Desta forma a série de potência é:

t 1 + t 3 = t 1 1 - - t 3 = t ∑ n = 0 ∞ ( - t ³ ) n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n t 3 n + 1

Passo 2

Agora que sabemos qual é a série de potência podemos calular a integral.

∫ t 1 + t ³ d t = ∫ ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n t 3 n + 1 d t = C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n t 3 n + 2 3 n + 2

Passo 3

Calculando o raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( 3 n + 5 ) ( 3 n + 2 )   = lim n → ∞ ⁡ n ( 3 + 5 n ) n ( 3 + 2 n ) = lim n → ∞ ⁡ 3 3 = 1

Resposta

∫ t 1 + t ³ d t = C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n t 3 n + 2 3 n + 2

Raio de convergência: R = 1

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