Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ n 2 n 1 + n 3 n  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado possui potências de n -ésima ordem. Neste caso, o Teste da Raiz pode ser útil.

Passo 2

Através do enunciado, vemos que

a n = n 2 n 1 + n 3 n

No Teste da Raiz, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Raiz na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n 1 + n 3 n n

Podemos reescrever a equação acima de forma mais simplificada, chegando em

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 1 + n 3 n n = lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + n 3 = lim n → ∞ ⁡ n 1 + n 2 1 1 + n

Colocando n em evidência dentro do termo elevado ao quadrado, chegamos em

lim n → ∞ ⁡ 1 1 / n + 1 2 1 1 + n = 1 0 = 0

Logo,

L = 0 < 1

Neste caso, a série é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente

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