Enunciado

a. Mostre que se duas séries de potências ∑ n = 0 ∞ a n x n e ∑ n = 0 ∞ b n x n são convergentes e iguais para todos os valores de x em um intervalo aberto ( - c , c ) , então a n = b n para todo n . (Sugestão: seja f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ b n x n . Derive termo a termo para mostrar que tanto a n quanto b n são iguais a f n 0 n ! .)

b. Mostre que se ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0   para todo x em um intervalo aberto ( - c , c ) , então a n = 0 para todo n .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Vamo lá, as duas séries de potência ∑ n = 0 ∞ a n x n e ∑ n = 0 ∞ b n x n são convergentes e iguais (ponto importante!) para todos os valores de x em um intervalo aberto - c , c . Com isso, vamos considerar que

f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Bonitinho, agora, nós vamos diferenciar k vezes sucessivamente os dois lados para obter a k-ésima derivada

f k x = ∑ n = k ∞ n n - 1 n - 2 … n - k - 1 a n x n - k

Isto é verdadeiro para todo inteiro k não negativo. Substituindo x = 0 nos dois lados, temos que

f k 0 = ∑ n = k ∞ n n - 1 n - 2 … n - k - 1 a n

Com isso, obtemos

f k 0 = k ! a k → a k = f k 0 k ! ,   p a r a   t o d o s   k ∈ N

O pensamento análogo segue para f x = ∑ n = 0 ∞ b n x n , com isso, nós vamos conseguir que

b k = f k 0 k !

Portanto,

a k = b k ,     k > 0

Passo 2

B – Dado que ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0 para todo x no intervalo aberto ( - c , c ) , vamos diferenciar sucessivamente afim do obter a k-ésima derivada,

f k x = 0 ,   ∀ x ∈ - c , c

Então, da letra a), nós sabemos que

a k = f k 0 k ! ,   p a r a   t o d o   k ∈ N

Portanto, nós temos que a k = 0 , para todo inteiro não negativo k ∴

Resposta

Respondido acima!

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