Enunciado

Para quais valores de x a série

1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + …

converge? Qual é sua soma? Qual série você obtém se derivar a série dada termo a termo? Para quais valores de x a nova série converge? Qual é sua soma?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O primeiro ponto que precisamos entender é que essa série pode ser escrita da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x - 3 n

Nesse caso, por causa da configuração da série, podemos aplicar o teste da razão, então

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 3 n + 1 2 n + 1 ∙ 2 n - 1 n x - 3 n

Desenvolvendo um pouco mais, obtemos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ ( - 1 ) ( x - 3 ) 2 = lim n → ∞ ⁡ - 1 ∙ x - 3 2 = x - 3 2

Passo 2

Esta série converge absolutamente para

x - 3 2 < 1 → x - 3 < 2 → - 2 < x - 3 < 2

Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência da série dada é 2. Vamos observar também que

- 2 < x - 3 < 2 → - 2 + 3 < x < 2 + 3 → 1 < x < 5

Agora temos que testar a convergência ou divergência em cada ponto final, ou seja, 1 e 5. Considerando x = 1 , obtemos que

∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n 1 - 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 n

Essa série tem a característica de ser divergente, uma vez que o limite é igual lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ≠ 0 . Agora, substituindo x = 5 ,

∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n 5 - 3 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n

Que olha só, também é divergente, portanto, o intervalo de convergência é dado por 1 < x < 5 . A soma desta série geométrica convergente, no intervalo de x ∈ ( 1,5 )

1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + … = 1 1 + x - 3 2 = 2 x - 1

Passo 3

Agora, vamos testar a diferenciabilidade da série, vamos considerar a seguinte função

f x = 1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + …

Diferenciando ambos os lados em relação a x temos

f ' x = - 1 2 + 1 2 x - 3 + … + - 1 2 n n x - 3 n - 1 + …

Qual é a série necessária. Sabemos que o intervalo de convergência das séries derivadas permanece o mesmo. A nova série é convergente quando 1 < x < 5 , e diverge quando x = 1 e x = 5 . A soma da nova série, no intervalo de x ∈ ( 1,5 ) , é dada por

- 1 2 + 1 2 x - 3 + … + - 1 2 n n x - 3 n - 1 + … = - 2 x - 1 2

Que claramente é a derivada de 2 x - 1 .

Resposta

1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + … = 1 1 + x - 3 2 = 2 x - 1

- 1 2 + 1 2 x - 3 + … + - 1 2 n n x - 3 n - 1 + … = - 2 x - 1 2

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