Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x^3 + 2 x^2 + 4)/(2 x^2 + 2) d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (x^3 + 2 x^2 + 4)/(2 x^2 + 2) d x = (1)/(2) int (x^3 + 2 x^2 + 4)/(x^2 + 1) d x

Vamos fazer a divisão dos polinômios:

Temos então que:

x^3 + 2 x^2 + 4 = (x^2 + 1) (x + 2) - x + 2 -> (x^3 + 2 x^2 + 4)/(x^2 + 1) = ((x^2 + 1) (x + 2))/(x^2 + 1) + (- x + 2)/(x^2 + 1) ->

-> (x^3 + 2 x^2 + 4)/(x^2 + 1) = x + 2 + (- x + 2)/(x^2 + 1)

Agora vamos substituir na integral:

(1)/(2) int (x^3 + 2 x^2 + 4)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) int x + 2 + (- x + 2)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) int x + 2 - (x)/(x^2 + 1) + (2)/(x^2 + 1) d x =

= (1)/(2) int x d x + (1)/(2) int 2 d x + (1)/(2) int - (x)/(x^2 + 1) d x + (1)/(2) int (2)/(x^2 + 1) d x =

= (1)/(2) int x d x + int d x - (1)/(2) int (x)/(x^2 + 1) d x + int (1)/(x^2 + 1) d x

Pronto, agora vamos calcular as quatro integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

(1)/(2) int x d x = (1)/(2) * (x^(1 + 1))/(1 + 1) + C = (1)/(2) * (x^2)/(2) + C = (x^2)/(4) + C

Passo 3

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Aplicando:

int d x = x + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição na terceira:

r = x^2 + 1

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 2 x + 0 d x = 2 x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- (1)/(2) int (x)/(x^2 + 1) d x = - (1)/(2) int (1)/(2 r) d r = - (1)/(4) int (1)/(r) d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(4) int (1)/(r) d r = - (1)/(4) ln |r| + C

Passo 5

Com a última vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctg x + C

Aplicando:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctg x + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

(1)/(2) int x d x + int d x - (1)/(2) int (x)/(x^2 + 1) d x + int (1)/(x^2 + 1) d x = (x^2)/(4) + x - (1)/(4) ln |r| + arctg x + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^3 + 2 x^2 + 4)/(2 x^2 + 2) d x = (x^2)/(4) + x - (1)/(4) ln |r| + arctg x + C =

= (x^2)/(4) + x - (1)/(4) ln |x^2 + 1| + arctg x + C

Resposta

int (x^3 + 2 x^2 + 4)/(2 x^2 + 2) d x = (x^2)/(4) + x - (1)/(4) ln |x^2 + 1| + arctg x + C

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