Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int sqrt(4 - x^2) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 - x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sen theta e utilizar a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 :

x = 2 sen theta -> theta = arcsen ((x)/(2))

d x = 2 cos theta d theta

Substituindo temos:

int sqrt(4 - x^2) d x = int sqrt(4 - 4 sen^2 theta) 2 cos theta d theta = int sqrt(4 (1 - sen^2 theta)) 2 cos theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int sqrt(4 (1 - sen^2 theta)) 2 cos theta d theta = int sqrt(4 cos^2 theta) 2 cos theta d theta =

= int 2 cos theta 2 cos theta d theta = int 4 cos^2 theta d theta

Passo 2

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica:

cos^2 theta = (1)/(2) + (cos 2 theta)/(2)

Assim ficamos com:

int 4 cos^2 theta d theta = int 4 ((1)/(2) + (cos 2 theta)/(2)) d theta = int 2 + 2 cos 2 theta d theta = int 2 d theta + int 2 cos 2 theta d theta

Passo 3

Com a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

int 2 d theta = 2 theta + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

u = 2 theta

d u = 2 d theta

Substituindo:

int 2 cos 2 theta d theta = int 2 (cos u)/(2) d u = int cos u d u

Agora usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos x d x = sen x + C

E agora plicando:

int cos u d u = sen u + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

int sqrt(4 - x^2) d x = int 4 cos^2 theta d theta = int 2 d theta + int 2 cos 2 theta d theta = 2 theta + sen u + C

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int sqrt(4 - x^2) d x = 2 theta + sen u + C = 2 arcsen ((x)/(2)) + sen 2 theta + C

Temos que x = 2 sen theta , ou seja, sen theta = (x)/(2) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos theta e sen 2 theta :

Assim:

cos theta = (sqrt(4 - x^2))/(2)

sen 2 theta = 2 sen theta cos theta = 2 * (x)/(2) * (sqrt(4 - x^2))/(2) = (x sqrt(4 - x^2))/(2)

E por último substituindo:

int sqrt(4 - x^2) d x = 2 arcsen ((x)/(2)) + sen 2 theta + C = 2 arcsen ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) + C

Resposta

int sqrt(4 - x^2) d x = 2 arcsen ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) + C

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