Enunciado

Mostre que a equação 2 x - 1 - s e n   x   = 0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Fala aí!

Esse problema nos deu a equação

2 x - 1 - s e n   x   = 0

E nosso objetivo é mostrar que essa equação possui apenas uma única solu��ão.

Parece complicado?

Pra isso podemos usar o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema de Rolle, ok?

A jogada aqui é definir um intervalo a , b de modo que f a < 0 e f b > 0 e a partir do teorema de Rolle, não podemos encontrar um valor c que satisfaça f ' c = 0 .

Bora lá!

Passo 2

Podemos começar definindo nosso intervalo, pra isso vamos chutar que a = 0 ...

f 0 = 2 0 - 1 - s e n   0

f 0 =   - 1

Então temos que f 0 < 0 , estamos indo bem…

Agora precisamos achar b tal que f b > 0 , pra isso podemos chutar que b = π 2 .

f π 2 = 2 π 2 - 1 - s e n   π 2

f π 2 = π - 1 - 1

f π 2 = π - 2

E agora nós provamos que f π 2 > 0

Show! Nós temos uma função f que é a soma do polinômio 2 x - 1 e do escalar múltiplo ( - 1 ) x   da função trigonométrica s e n   x , então f é contínua e derivável para todo x .

Com isso, pelo Teorema do Valor Intermediário tem que existir um número c entre 0 , π 2 tal que f c = 0 .

E isso prova que função dada pra gente, tem pelo menos uma raiz real.

Show?

Passo 3

Ainda não acabou! Agora a gente precisa provar que a nossa função não tem outra raiz real, ok?

Para isso, vamos usar O Teorema de Rolle, usando um argumento por contradição… É assim, se liga, se tivermos duas raízes a e b com a < b . Então:

f a = f b = 0

E sendo f x derivável no intervalo ( a , b ) e contínua em [ a , b ] , pelo Teorema de Rolle, tem que existir um número c , que está entre a e b que f ' c = 0

Agora vamos ver se essa parte é verdade derivando nossa função:

f ' x = 2 - c o s   x  

f ' c = 2 - c o s   c   > 0

Como nosso cosseno se comporta assim:

0   ≤   c o s   x   ≤   1

Não vai dar zero! Isso significa que existe uma contradição aí! Isso mostra que a equação não pode ter duas raízes reais diferentes, consequentemente, há exatamente uma raiz real!

Show de bola! Conseguimos provar!

O que achou? Responde Aí!

Resposta

Provamos pelo TVM e pelo Teorema de Rolle.

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