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Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 y 2 x y z d z   d y   d x

Passo 1

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

I = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 y 2 x y z d z   d y   d x

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em z . olha só:

I = ∫ 0 1 ∫ x 2 x 2 x y z 2 2 0 y   d y   d x

Assim,

I = ∫ 0 1 ∫ x 2 x 2 x y y 2 2 - 0   d y   d x

Logo,

I = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x y 3   d y   d x

Passo 3

Agora vamos integrar em y . Vem comigo!

I = ∫ 0 1 x y 4 4 x 2 x d x

Aplicando entre esses pontos:

I = ∫ 0 1 x × 2 x 4 4 - x 4 4 d x

Arrumando as coisas:

I = ∫ 0 1 15 x 5 4 d x

Passo 4

Por fim, vamos integrar em x :

I = ∫ 0 1 15 x 5 4 d x

Logo,

I = 15 4 × x 6 6 0 1

Fazendo as contas:

I = 15 4 × 1 6 - 0

Por fim,

I = 5 8

Resposta

5 8

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