Calcule a integral iterada.

∫ 0 π ∫ 0 x ∫ 0 x z x 2   s e n   y   d y   d z   d x

Passo 1

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

I = ∫ 0 π ∫ 0 x ∫ 0 x z x 2   s e n   y   d y   d z   d x

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em y . olha só:

I = ∫ 0 π ∫ 0 x x 2 - cos ⁡ y y = 0 y = x z   d z   d x

Assim,

I = ∫ 0 π ∫ 0 x [ x 2 - cos ⁡ x z + 1 ]   d z   d x

Logo,

I = ∫ 0 π ∫ 0 x [ - x 2 cos ⁡ x z + x 2 ]   d z   d x

Passo 3

Agora vamos integrar em z .

I = ∫ 0 π ∫ 0 x [ - x 2 cos ⁡ x z + x 2 ]   d z   d x

Agora vamos fazer essa integral separado, olha só:

I 1 = ∫ 0 x - x 2 cos ⁡ x z + x 2 d z

Integrando:

I 1 = - x   s e n x z + x 2 z 0 x

Aplicando entres esses pontos:

I 1 = - x   s e n x 2 + x 3

Então nossa integral fica:

I = ∫ 0 π - x   s e n x 2 + x 3   d x

Passo 4

Pra finalizar, vamos integrar em x . Vem comigo!

I = ∫ 0 π - x   s e n x 2 + x 3   d x

Integrando, temos:

I = cos ⁡ x 2 2 + x 4 4 0 π

Agora é só correr pro abraço!

I = - 1 2 + π 2 4 - 1 2 - 0

Logo,

I = π 2 4 - 1

Resposta

π 2 4 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados