Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^z int_0^y z e^(- y^2) d x d y d z

Passo 1

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

I = int_0^1 int_0^z int_0^y z e^(- y^2) d x d y d z

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em x . olha só:

I = int_0^1 int_0^z z e^(- y^2) [x]_0^y d y d z

Assim,

I = int_0^1 int_0^z z e^(- y^2) y d y d z

Passo 3

Agora vamos integrar em y . Como esse integral é mais chata, vamos com calma.

I = int_0^1 int_0^z z e^(- y^2) y d y d z

A integral é:

I_1 = int_0^z y e^(- y^2) d y

Agora vamos fazer a seguinte substituição:

u = y^2

Derivando,

d u = 2 y d y -> y d y = (1)/(2) d u

Mudando os limites de integração:

y = 0 -> u = 0

y = z -> u = z^2

Logo,

I_1 = int_0^(z^2) e^(- u) (1)/(2) d u

Integrando

I_1 = (1)/(2) [- e^(- u)]_0^(z^2)

Portanto,

I_1 = - (1)/(2) (e^(- z^2) - 1)

Então a integral fica:

I = int_0^1 z (- (1)/(2) (e^(- z^2) - 1)) d z

Passo 4

Pra finalizar, vamos integrar em z . Vem comigo!

I = int_0^1 z (- (1)/(2) (e^(- z^2) - 1)) d z

Arrumando as coisas:

I = - (1)/(2) (int_0^1 z e^(- z^2) d z + int_0^1 z d z)

A ideia dessa primeira integral é a mesma do Passo 3. Então teremos o seguinte:

I = - (1)/(2) [(e^(- z^2))/(2) + (z^2)/(2)]_0^1

Assim,

I = [(e^(- 1))/(4) + (1)/(4)] - [(1)/(4) + 0]

Portanto,

I = (1)/(4 e)

Resposta

(1)/(4 e)

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