Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^3 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z e^y d x d z d y

Passo 1

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

I = int_0^3 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) z e^y d x d z d y

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em relação a x .

I = int_0^3 int_0^1 z e^y [x]_0^(sqrt(1 - z^2)) d z d y

Assim,

I = int_0^3 int_0^1 z e^y (sqrt(1 - z^2) - 0) d z d y

Arrumando as coisas:

I = int_0^3 int_0^1 e^y z sqrt(1 - z^2) d z d y

Passo 3

Agora vamos integrar em z . Como esse integral é mais chata, vamos com calma.

I = int_0^3 int_0^1 e^y z sqrt(1 - z^2) d z d y

A integral agora é a seguinte:

I_1 = int_0^1 z sqrt(1 - z^2) d z

Agora vamos fazer a seguinte substituição:

u = 1 - z^2

Derivando,

d u = - 2 z d z -> z d z = - (1)/(2) d u

Mudando os limites de integração:

z = 0 -> u = 1

z = 1 -> u = 0

I_1 = int_1^0 - (1)/(2) u^((1)/(2))

Integrando:

I_1 = - (1)/(2) xx [(u^((3)/(2)))/((3)/(2))]_1^0

Logo,

I_1 = (1)/(3)

Então nossa integral fica:

I = int_0^3 (1)/(3) e^y d y

Passo 4

Pra finalizar, vamos integrar em y :

I = (1)/(3) int_0^3 e^y d y

Integrando,

I = (1)/(3) [e^y]_0^3

Portanto,

I = (e^3)/(3) - (1)/(3) = (e^3 - 1)/(3)

Resposta

(e^3 - 1)/(3)

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