Calcule a integral iterada.

∫ 0 3 ∫ 0 π 2 t 2 s e n 3 ϕ   d ϕ d t

Passo 1

Fala, galera! Tudo tranquilo?

A questão pede pra gente calcular a seguinte integral dupla:

∫ 0 3 ∫ 0 π 2 t 2 s e n 3 ϕ   d ϕ d t

Uma integral iterada é uma integral que a gente resolve em uma certa sequência, nesse caso aqui, a “de dentro” primeiro e a de fora depois. Ou seja, a gente começa a integral mais interna, que no nosso caso aqui está em função de ϕ   na nossa questão.

Então, o processo fica assim:

  • primeiro, a gente calcula a integral da função em relação a ϕ . O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de t . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte
  • Depois integramos a função que a gente obteve na primeira integral, como integral de fora e assim a gente termina o cálculo da integral iterada.

Quando estamos integrando em função de ϕ , consideramos t como constante, e quando estamos integrando em função de t , consideramos ϕ constante.

Agora que já sabemos a estratégia, vamo que vamo!

Passo 2

Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em ϕ primeiro e depois em t . Então, tratamos t como constante:

∫ 0 3 ∫ 0 π 2 t 2 s e n 3 ϕ   d ϕ d t

Calculando a integral de dentro:

∫ 0 3 t 2 d t   ∫ 0 π 2 s e n 2 ϕ   d ϕ

Vamos calcular a integral interna primeiro. Podemos separar ela, da seguinte maneira:

∫ 0 π 2 s e n ϕ   s e n 2 ϕ   d ϕ = ∫ 0 π 2 s e n ϕ   1 - cos 2 ⁡ ϕ   d ϕ

Aqui usamos uma pequena ajuda da identidade trigonométrica! Com isso, podemos fazer uma substituição marota, do tipo u = c o s ϕ . Dessa forma, vamos ter:

u = c o s ϕ

d u = - s e n ϕ   d ϕ

Nosso novos limites de integração serão:

ϕ = 0 ;     u = 1

ϕ = π 2 ;     u = 0

Dessa forma, temos:

∫ 0 π 2 s e n 2 ϕ   d ϕ = ∫ 1 0 - 1 - u 2   d u

Multiplicando o integrando por - 1 apenas inverte a ordem dos limites de integração. Podemos usar essa propriedade de integrais pra simplificar nosso problema. Teremos então o seguinte:

∫ 1 0 - 1 - u 2   d u = ∫ 0 1 1 - u 2   d u

Resolvendo a integral, temos:

u - u 3 3 0 1 = 1 - 1 3

Simplificando nossa expressão temos:

u - u 3 3 0 1 = 2 3

Dessa forma, temos que:

∫ 0 π 2 s e n 2 ϕ   d ϕ = 2 3

Passo 3

Aplicando na nossa expressão original, temos:

∫ 0 3 t 2 d t   ∫ 0 π 2 s e n 2 ϕ   d ϕ = ∫ 0 3 2 3 t 2   d t

Ou seja, resolveremos a seguinte integral:

2 3 ∫ 0 3 t 2 d t

Resolvendo, temos:

2 3 ⋅ t 3 3 0 3 = 2 3 ⋅ 27 3

Simplificando nossa expressão, temos:

2 ⋅ 27 9 = 2 ⋅ 3 = 6

Prontinho! ����

Resposta

∫ 0 3 ∫ 0 π / 2 t 2 s e n 3 ϕ   d ϕ d t = 6

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