Enunciado

Calcule a integral iterada.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z

Começaremos o exercício calculando a integral em função de x :

int_0^2 int_0^(z^2) [x^2 - x y]_(x = 0)^(x = y - z) d y d z = int_0^2 int_0^(z^2) [(y - z)^2 - (y - z) y] d y d z

E, simplificando a expressão, temos:

int_0^2 int_0^(z^2) (z^2 - y z) d y d z

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de y :

int_0^2 [y z^2 - (1)/(2) y^2 z]_(y = 0)^(y = z^2) d z = int_0^2 (z^4 - (1)/(2) z^5) d z

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de z :

[(1)/(5) z^5 - (1)/(12) z^6]_0^2 = (32)/(5) - (64)/(12)

E, dessa forma o valor da integral é:

int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z = (16)/(15)

Resposta

int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z = (16)/(15)

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