Enunciado

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ y^2 d V

Sob a região T que é o tetraedro com vértices (0,0 , 0) , (2,0 , 0) , (0,2 , 0) e ( 0,0 , 2 ) .

A imagem a seguir ilustra a região de interesse descrita no enunciado:

Dessa forma, com base nas imagens, podemos reescrever a integral como:

int_0^2 int_0^(2 - x) int_0^(2 - x - y) y^2 d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

int_0^2 int_0^(2 - x) [y^2 z]_(z = 0)^(z = 2 - x - y) d y d x = int_0^2 int_0^(2 - x) {y^2 [(2 - x - y) - (0)]} d y d x

Simplificando a expressão, temos:

int_0^2 int_0^(2 - x) [(2 - x) y^2 - y^3] d y d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de y :

int_0^2 [(2 - x) ((1)/(3) y^3) - (1)/(4) y^4]_(y = 0)^(y = 2 - x) d x = int_0^2 {[(2 - x) ((1)/(3) (2 - x)^3) - (1)/(4) (2 - x)^4] - [0]} d x

E, simplificando, obtemos:

int_0^2 [(1)/(3) (2 - x)^4 - (1)/(4) (2 - x)^4] d x = int_0^2 [(1)/(12) (2 - x)^4] d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

[(1)/(12) (- (1)/(5)) (2 - x)^5]_0^2 = {[(1)/(12) (- (1)/(5)) (2 - 2)^5] - [(1)/(12) (- (1)/(5)) (2 - 0)^5]}

= 0 - (- (32)/(60))

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ y^2 d V = (8)/(15)

Resposta

∭ y^2 d V = (8)/(15)

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