Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está acima do retângulo com vértices (0,0), (4,0), (0,2) e (4,2).

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício a relação para área da superfície dada por

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A

Passo 2

Temos que nossa função é z = 9 - y 2 . Temos também que nosso intervalo de integração é

0 ≤ x ≤ 4

0 ≤ y ≤ 2

Aplicando então a nossa integral dupla para a área e substituindo os valores, temos que

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A = ∫ 0 4 ∫ 0 2 0 2 + - y ⋅ 9 - y 2 - 1 2 2 + 1 ⋅ d y ⋅ d x

= ∫ 0 4 ∫ 0 2 y 2 9 - y 2 + 1 ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 4 ∫ 0 2 3 9 - y 2 ⋅ d y ⋅ d x = 3 ⋅ ∫ 0 4 sin - 1 ⁡ y 3 0 2 ⋅ d x =

= 3 ⋅ sin - 1 ⁡ 2 3 ⋅ x 0 4 = 12 ⋅ sin - 1 ⁡ 2 3  

Resposta

A S = 12 ⋅ sin - 1 ⁡ 2 3

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