Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^((pi)/(2)) int_0^x x sin y d y d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a y e considerar x como uma constante:

int_0^x x sin y d y = x [- cos y]_0^x

int_0^x x sin y d y = x [(- cos x) - (- cos 0)]

int_0^x x sin y d y = x [(- cos x) - (- 1)]

int_0^x x sin y d y = x - x cos x

Logo:

int_0^((pi)/(2)) int_0^x x sin y d y d x = int_0^(pi // 2) (x - x cos x) d x

int_0^((pi)/(2)) int_0^x x sin y d y d x = int_0^(pi // 2) x d x - int_0^(pi // 2) x cos x d x

Passo 2

Resolvendo a primeira integral, temos:

int_0^(pi // 2) x d x = [(x^2)/(2)]_0^(pi // 2)

int_0^(pi // 2) x d x = (1)/(2) [x^2]_0^((pi)/(2))

int_0^(pi // 2) x d x = (1)/(2) [((pi)/(2))^2 - (0)^2]

int_0^(pi // 2) x d x = (pi^2)/(8)

Como temos uma multiplicação de funções com relação a x , temos que aplicar algum método para resolver.

Vamos tentar o método de integração por partes. Consideraremos u = x e d v = cos x . Logo:

int u d v = u v - int v d u

u = x

d u = d x

d v = cos x

v = int c o s x d x

v = sin x

Substituindo na equação, nossa integral vai ficar assim:

int_0^(pi // 2) x cos x d x = x sin x - int_0^(pi // 2 ) sin x d x

int_0^(pi // 2) x cos x d x = x sin x - int sin x d x

int_0^((pi)/(2)) x cos x d x = x sin x - (- cos x)

int_0^((pi)/(2)) x cos x d x = [x sin x + cos x]_0^((pi)/(2))

Portanto:

int_0^((pi)/(2)) x cos x d x = [((pi)/(2) sin (pi)/(2) + cos (pi)/(2)) - (0 sin 0 + cos 0)]

int_0^((pi)/(2)) x cos x d x = [((pi)/(2) ( 1 ) + ( 0 )) - (0 + 1)]

int_0^((pi)/(2)) x cos x d x = (pi)/(2) - 1

Como:

int_0^((pi)/(2)) int_0^x x sin y d y d x = int_0^(pi // 2) x d x - int_0^(pi // 2) x cos x d x

Obtemos nosso valores:

int_0^((pi)/(2)) int_0^x x sin y d y d x = ((pi^2)/(8)) - ((pi)/(2) - 1)

int_0^((pi)/(2)) int_0^x x sin y d y d x = (pi^2)/(8) - (pi)/(2) + 1

Nossa resposta será:

int_0^((pi)/(2)) int_0^x x sin y d y d x = ((pi^2 - 4 pi + 8))/(8)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) int_0^x x sin y d y d x = ((pi^2 - 4 pi + 8))/(8)

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