Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x y 2 d x + x 3 d y

C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos ver o que a questão quer.

Nessa letra a), ele quer que calculemos a integral de linha

∮ C x y 2 d x + x 3 d y

Diretamente, usando a definição, onde C é a linha de um retângulo representado pelos vértices dele.

Na letra b), teremos que utilizar o Teorema de Green

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Que diz que podemos transformar uma integral de linha em uma integral dupla utilizando a relação acima.

Onde, na integral de linha P é tudo que está ao lado de d x , Q é tudo que está ao lado de d y e C é o contorno da curva. Nessa questão C são os 4 lados do retângulo!

E na integral dupla que vamos fazer, D é o interior da curva que precisa estar orientada positivamente. Que é a área do retângulo nesse caso!

∂ Q ∂ x

É a derivada parcial de Q em relação à x ,

∂ P ∂ y

É a derivada parcial de P em relação à y e

d A = d x d y

E por que faríamos isso?

Bem, essa integral de linha não é muito complicada de resolver, mas existem outras que são quase impossíveis de resolver pela definição. Nesses casos, o teorema facilita nossa vida.

Portanto, como essa resolução é da letra a)

Vamos resolver a integral de linha dividindo a região C em C 1 ,   C 2 ,   C 3 ,   C 4 que representa os 4 lados desse retângulo e depois calcular tudo.

Show?

Passo 2

Primeiro, vamos dividir nosso retângulo em 4 curvas:

Vamos fazer um desenho para facilitar a compreensão

Agora, cada reta dessa será uma curva, que serão C 1 ,   C 2 ,   C 3 ,   C 4 .

Assim:

Então, a região da nossa integral de linha é dada pela união das 4 curvas:

C 1 :

y = 0

  0 ≤ x ≤ 2

C 2 :

x = 2

0 ≤ y ≤ 3

C 3 :

y = 3

2 ≥ x ≥ 0

C 4 :

x = 0

3 ≥ y ≥ 0

Note que orientei a curva no sentido anti-horário, que sai da origem, vai para a direita onde x = 2 ,   y = 0 , depois sobe para x = 2 ,   y = 3 , vai para esquerda onde x = 0 ,   y = 3 e volta para a origem.

Nas coordenadas x , y uma curva orientada positivamente é uma curva orientado no sentido anti-horário.

Porém um jeito mais fácil de orientar a curva é pensar que você está andando nas bordas delas, e se o interior dela estiver à sua esquerda, ela está orientada positivamente!

Portanto,

∮ C x y 2 d x + x 3 d y = ∫ C 1 x y 2 d x + x 3 d y + ∫ C 2 x y 2 d x + x 3 d y

+ ∫ C 3 x y 2 d x + x 3 d y + ∫ C 4 x y 2 d x + x 3 d y  

Passo 3

Vamos as contas!

Para C 1

∫ C 1 x y 2 d x + x 3 d y

Temos que

y = 0

  0 ≤ x ≤ 2

Então, fazendo a substituição na integral:

∫ C 1 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 0 2 x   .   0 2 d x + x 3 d y = 0

Como y permanece constante, se derivarmos ele, d y = 0 . E assim similarmente com os outros!

∫ C 1 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 0 2 x   .   0 2 d x + x 3 . 0 = 0

Para C 2 :

∫ C 2 x y 2 d x + x 3 d y

Temos que

x = 2

d x = 0

0 ≤ y ≤ 3

Então,

∫ C 2 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 0 3 8 d y = 24

Para C 3

∫ C 3 x y 2 d x + x 3 d y

Temos

y = 3

d y = 0

2 ≥ x ≥ 0

Então

∫ C 3 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 2 0 9 x d x = - 18

Para C 4

∫ C 4 x y 2 d x + x 3 d y

Temos

x = 0

d x = 0

3 ≥ y ≥ 0

Então

∫ C 4 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 3 0 0 d y = 0

Portanto,

∮ C x y 2 d x + x 3 d y = 0 + 24 - 18 + 0 = 6

Portanto,

∮ C x y 2 d x + x 3 d y = 0 + 24 - 18 + 0 = 6

Resposta

∮ C x y 2 d x + x 3 d y = 6

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