Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x y 2 d x + x 3 d y

C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .

Passo 1

Precisamos resolver esta integral por dois métodos diferentes e assim chegar ao mesmo valor, comprovando a eficácia do Teorema de Green.

A nossa curva é dada pela união das 4 curvas:

C 1 : y = 0 ,   0 ≤ x ≤ 2

C 1 : x = 2 ,   0 ≤ y ≤ 3

C 1 : y = 3 ,   2 ≥ x ≥ 0

C 1 : x = 0 ,   3 ≥ y ≥ 0

Para resolvermos diretamente, precisamos primeiro parametrizar a curva para em sim podermos resolver a integral como já havíamos feito anteriormente. Além disto, é importante tomarmos cuidado na hora da direção das curvas!

Já para resolvermos através do Teorema de Green, basta lembrarmos que o Teorema nos diz que:

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Vamos as contas então!

Passo 2

Agora que já parametrizamos as curvas no passo 1, vamos resolver a integral de linha para cada curva. Começando pela curva 1, temos:

∫ C 1 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 0 2 0 d x = 0

Para a curva 2,

∫ C 2 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 0 3 8 d y = 24

Para a curva 3, temos:

∫ C 3 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 2 0 9 x d x = - 18

Já para a curva 4, temos:

∫ C 4 x y 2 d x + x 3 d y = ∫ 3 0 0 d y = 0

Portanto,

∮ C x y 2 d x + x 3 d y = 0 + 24 - 18 + 0 = 6

Resposta

∮ C x y 2 d x + x 3 d y = 6

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