Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 3a
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
é um triângulo com os vértices em .
Passo 1
Que tal desenharmos a curva primeiro de tudo?!
Um jeito melhor de calcular essa integral de linha é quebrar ela em três integrais, uma pra cada trecho da curva representada acima. Assim,
Passo 2
Para o trecho , o valor de é constante e igual a , o que leva a . No caso de , ele varia de a mas ele é igual a zero. Assim,
Passo 3
Para o trecho , podemos observar que o valor de é constante e igual a , o que nos leva a ter . No caso de , temos uma variação ocorrendo de a . Escrevendo a nossa integral, temos:
Passo 4
Por fim, no trecho temos um segmento de reta indo do ponto para o ponto . A equação da reta, para esse caso é dada por:
Assim, escrevendo a integral, temos:
Assim, a integral de linha é igual a:
Resposta
A integral de linha é igual a: