Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x y 2 d x + x 3 d y

C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .

Passo 1

Precisamos resolver esta integral por dois métodos diferentes e assim chegar ao mesmo valor, comprovando a eficácia do Teorema de Green.

A nossa curva é dada pela união das 4 curvas:

C 1 : y = 0 ,   0 ≤ x ≤ 2

C 1 : x = 2 ,   0 ≤ y ≤ 3

C 1 : y = 3 ,   2 ≥ x ≥ 0

C 1 : x = 0 ,   3 ≥ y ≥ 0

Para resolvermos diretamente, precisamos primeiro parametrizar a curva para em sim podermos resolver a integral como já havíamos feito anteriormente. Além disto, é importante tomarmos cuidado na hora da direção das curvas!

Já para resolvermos através do Teorema de Green, basta lembrarmos que o Teorema nos diz que:

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Vamos as contas então!

Passo 2

Nosso primeiro passo é obter o termo integrando. Como Q x , y = x 3 e P x , y = x y 2 , então,

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 3 x 2 - 2 x y

Portanto,

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ D 3 x 2 - 2 x y d A

Como a nossa região D é uma região retangular com 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3 , a nossa integral é dada por:

∬ D 3 x 2 - 2 x y d A = ∫ 0 2 ∫ 0 3 3 x 2 - 2 x y d y d x

∫ 0 2 3 x 2 y - x y 2 0 3 d x = ∫ 0 2 9 x 2 - 9 x d x

3 x 3 - 9 x 2 2 0 2 = 24 - 18 = 6

Resposta

∮ C x y 2 d x + x 3 d y = 6

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Aplique o teorema de Green para calcular as integrais nos Exercí-cios 21-24 ∮ C y 2 d x + x 2 d y C: O triângulo limitado por x = 0 , x + y = 1 , y = 0 .
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