Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 1b
Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.
C é o retângulo com vértices , , e .
Passo 1
Precisamos resolver esta integral por dois métodos diferentes e assim chegar ao mesmo valor, comprovando a eficácia do Teorema de Green.
A nossa curva é dada pela união das 4 curvas:
Para resolvermos diretamente, precisamos primeiro parametrizar a curva para em sim podermos resolver a integral como já havíamos feito anteriormente. Além disto, é importante tomarmos cuidado na hora da direção das curvas!
Já para resolvermos através do Teorema de Green, basta lembrarmos que o Teorema nos diz que:
Vamos as contas então!
Passo 2
Nosso primeiro passo é obter o termo integrando. Como e , então,
Portanto,
Como a nossa região D é uma região retangular com e , a nossa integral é dada por: