Enunciado

Determine o centro de massa da lâmina com formato de triângulo reto isósceles com lados iguais de tamanho a se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto ao vértice oposto à hipotenusa.

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício as relações dadas no capítulo para o cálculo de centro de massa e da massa, que são

m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A

x - = M x m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D x ⋅ ρ x , y ⋅ d A

y - = M y m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D y ⋅ ρ x , y ⋅ d A

Passo 2

 

Temos que nossa densidade é proporcional à distância do ponto até o vértice oposto a hipotenusa. Ou seja, nossa densidade é dada por

ρ x , y = k ⋅ r 2

Onde k é uma constante. Podemos escrever r 2 através da relação r 2 = x 2 + y 2 . Assim, substituindo na densidade, temos que

ρ x , y = k ⋅ x 2 + y 2

Precisamos agora descobrir como y e x variam. Mantendo x fixo e variando y , temos que

0 ≤ x ≤ a

E a reta que limita y superiormente será a reta da hipotenusa, dada por y = a - x . Assim, substituindo integral para a massa, chegamos que

m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A = k ⋅ ∫ 0 a ∫ 0 a - x x 2 + y 2 ⋅ d y ⋅ d x = k ⋅ ∫ 0 a x 2 ⋅ y + y 3 3 0 a - x ⋅ d x =

= k ⋅ ∫ 0 a a ⋅ x 2 - x 3 + 1 3 ⋅ a - x 3 ⋅ d x = k ⋅ 1 3 ⋅ a ⋅ x 3 - 1 4 ⋅ x 4 - 1 12 ⋅ a - x 4 0 a =

= 1 6 ⋅ k ⋅ a 4

Passo 3

Observando a simetria do problema, temos que as distâncias em x e em y são as mesmas, logo, pela simetria do problema, vemos que x - = y - . Calculando então a posição do centro de massa, temos que

x - = y - = 1 m ⋅ ∫ 0 a ∫ 0 a - x k ⋅ y ⋅ x 2 + y 2 ⋅ d y ⋅ d x = k m ⋅ ∫ 0 a 1 2 ⋅ a - x 2 ⋅ x 2 + 1 4 ⋅ a - x 4 ⋅ d x =

= k m ⋅ 1 6 ⋅ a 2 ⋅ x 3 - 1 4 ⋅ a ⋅ x 4 + 1 10 ⋅ x 5 - 1 20 ⋅ a - x 5 0 a = k m ⋅ 1 15 ⋅ a 5 =

k 1 6 ⋅ k ⋅ a 4 ⋅ 1 15 ⋅ a 5 = 2 5 ⋅ a

Resposta

m = 1 6 ⋅ k ⋅ a 4

x - = 2 5 ⋅ a

y - = 2 5 ⋅ a

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