Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 13
Determine o centro de massa da lâmina com formato de triângulo reto isósceles com lados iguais de tamanho se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto ao vértice oposto à hipotenusa.
Passo 1
Vamos utilizar para esse exercício as relações dadas no capítulo para o cálculo de centro de massa e da massa, que são
Passo 2
Temos que nossa densidade é proporcional à distância do ponto até o vértice oposto a hipotenusa. Ou seja, nossa densidade é dada por
Onde é uma constante. Podemos escrever através da relação . Assim, substituindo na densidade, temos que
Precisamos agora descobrir como e variam. Mantendo fixo e variando , temos que
E a reta que limita superiormente será a reta da hipotenusa, dada por . Assim, substituindo integral para a massa, chegamos que
Passo 3
Observando a simetria do problema, temos que as distâncias em e em são as mesmas, logo, pela simetria do problema, vemos que . Calculando então a posição do centro de massa, temos que
Resposta
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