Enunciado

Encontre a circulação em sentido anti-horário de F = (y + ex ln y)i

+ (ex/y)j ao redor da fronteira da região que está delimitada superiormente pela curva y = 3 – x2 e inferiormente pela curva

y = x4 + 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → = M i → + N j → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, da página 398).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = y + e x l n ⁡ y i → + e x y j → atuando sobre a região limitada por C : superiormente por y = 3 - x 2 e inferiormente por y = x 4 + 1 , com - 1 ≤ x ≤ 1 .Encontremos M e N : M = y + e x l n ⁡ y e N = e x y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ y = 1 + e x y e ∂ N ∂ x = e x y

Passo 3

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ y = 1 + e x y e ∂ N ∂ x = e x y em em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R     e x y - 1 + e x y d x d y = ∬ R     - 1 d x d y = ∫ - 1 1     ∫ x 4 + 1 3 - x 2     - d y d x =   = ∫ - 1 1     3 - x 2 - x 4 + 1 d x = ∫ - 1 1     x 4 + x 2 - 2 d x = - 44 15

Passo 4

Assim, o fluxo exterior de F → através de C é - 44 15 .

Resposta

Resposta nos passos.

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = e x + x 2 y , e y - x y 2 C é a circunferência x 2 + y 2 = 25 , orientada no
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C y 3 d x - x 3 d y C é o círculo x 2 + y 2 = 4
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C x 2 y 2 d x + 4 x y 3 d y C é o triângulo com vértices ( 0,0 ) , ( 1,3 ) e ( 0,3 )
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C e y d x + 2 x e y d y C é o quadrado de lados x = 0 ,x = 1 ,y = 0 e y = 1
Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla. P x , y = 2 x - x 3 y 5 , Q x , y = x 3 y 8 C é a elipse 4 x 2 +