Enunciado

Encontre o fluxo exterior do campo

F = 3 x y - x 1 + y 2 i + e x + t g - 1 ⁡ y j

através da cardioide r = a ( 1 + c o s ⁡ θ ) , a > 0 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos o fluxo exterior de F → = M i ‾ + N j ‾ através de C como sendo a integral dupla do d i v ⁡ F → sobre a região R delimitada por C , ∮   C F → ⋅ n → d s = ∮   C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 4, página 397).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = 3 x y - x 1 + y 2 i → + e x + t a n - 1 ⁡ y j → atuando sobre a região limitada por C : r = a ( 1 + c o s ⁡ θ ) com a maior do que zero.Encontremos M e N : M = 3 x y - x 1 + y 2 e N = e x + t a n - 1 ⁡ y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 3 y - 1 1 + y 2 e ∂ N ∂ y = 1 1 + y 2

Passo 3

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 3 y - 1 1 + y 2 e ∂ N ∂ y = 1 1 + y 2 em ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     3 y - 1 1 + y 2 + 1 1 + y 2 d x d y   = ∬ R     [ 3 y ] d x d y = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a ( 1 + c o s ⁡ θ )     ( 3 r s e n ⁡ θ ) r d r d θ = ∫ 0 2 π     a 3 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 3 ( s e n ⁡ θ ) d θ   = - a 3 4 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 4 0 2 π = - 4 a 3 - - 4 a 3 = 0

Passo 4

Obs:: A integral ∫ 0 2 π   a 3 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 3 ( s e n ⁡ θ ) d θ foi resolvida por substituição, como segue:Adotando u = 1 + c o s ⁡ θ , d u = - s e n ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π   a 3 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 3 ( s e n ⁡ θ ) d θ = - ∫   a 3 u 3 d u = - a 3 u 4 4 = - a 3 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 4 4

Resposta

Assim, o fluxo exterior de F → através de C é zero.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C sen ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y C é a elipse x 2 + x y + y 2 = 1
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x
Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y - ln ⁡ x 2 + y 2 , 2 tg - 1 ⁡ ( y / x ) C é a circunferência ( x - 2 ) 2 +
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C x e - 2 x d x + x 4 + 2 x 2 y 2 d y C é a fronteira da região entre os círculos x 2 + y 2 =
Utilize o teorema de Green para encontrar a circulação anti-horária e o fluxo exterior para os campos e curvas nos Exercícios 49 e 50.49. Quadrado F = 2 x y + x i + x y - y j C: O quadrado limitado po