Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 10
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade .
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Passo 1
Vamos utilizar para esse exercício as relações dadas no capítulo para o cálculo de centro de massa e da massa, que são
Passo 2
Vamos começar calculando a massa da nossa lâmina. Iremos manter fixo e variar . Temos que nos já é dado os intervalos para e , que são
Usando agora nossa integral dupla para calcular a massa, temos que
Utilizando integral por partes, temos que
Chamando e , temos que
Passo 3
Agora vamos calcular a posição do do centro de massa. Usando a equação dada, temos que
Usando integral por partes, chamando e , temos que
Novamente aplicando integral por partes, agora com e , temos que
Substituindo na primeira equação, temos que
Passo 4
Para o centro de massa de , teremos o mesmo processo
Chamando e , temos que
Substituindo esse valor na primeira equação