Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x , y 0 ≤ y ≤ cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 2 ;   ρ x , y = x .

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício as relações dadas no capítulo para o cálculo de centro de massa e da massa, que são

m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A

x - = M x m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D x ⋅ ρ x , y ⋅ d A

y - = M y m = 1 m ⋅ ∫ ∫ D y ⋅ ρ x , y ⋅ d A

Passo 2

Vamos começar calculando a massa da nossa lâmina. Iremos manter x fixo e variar y . Temos que nos já é dado os intervalos para x e y , que são

0 ≤ y ≤ cos ⁡ x

0 ≤ x ≤ π 2

Usando agora nossa integral dupla para calcular a massa, temos que

m = ∫ ∫ D ρ x , y ⋅ d A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x x ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 π 2 x ⋅ y 0 cos ⁡ x ⋅ d x =

= ∫ 0 π 2 cos ⁡ x ⋅ x ⋅ d x

Utilizando integral por partes, temos que

∫ a b f ' ⋅ g = f ⋅ g a b - ∫ a b f ⋅ g '

Chamando f ' = cos ⁡ x e g = x , temos que

∫ 0 π 2 cos ⁡ x ⋅ x ⋅ d x   = sin ⁡ x ⋅ x 0 π 2 - ∫ 0 π 2 sin ⁡ x ⋅ d x = π 2 - 1

Passo 3

Agora vamos calcular a posição do x do centro de massa. Usando a equação dada, temos que

x - = 1 m ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x x 2 ⋅ d y ⋅ d x = 1 m ⋅ ∫ 0 π 2 x 2 ⋅ y 0 cos ⁡ x ⋅ d x = 1 m ⋅ ∫ 0 π 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x

Usando integral por partes, chamando g = x 2 e f ' = cos ⁡ x , temos que

1 m ⋅ ∫ 0 π 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x = 1 m ⋅ x 2 ⋅ sin ⁡ x 0 π 2 - ∫ 0 π 2 2 ⋅ x ⋅ sin ⁡ x ⋅ d x

Novamente aplicando integral por partes, agora com f ' = sin ⁡ x e g = x , temos que

∫ 0 π 2 2 ⋅ x ⋅ sin ⁡ x ⋅ d x = 2 ⋅ - cos ⁡ x ⋅ x 0 π 2 - ∫ 0 π 2 - cos ⁡ x ⋅ d x = 2 ⋅ 0 + 1 = 2

Substituindo na primeira equação, temos que

1 m ⋅ x 2 ⋅ sin ⁡ x 0 π 2 - π - 2 = 1 π 2 - 1 ⋅ π 2 4 - 2 = π 2 4 - 2 π 2 - 1 = π 2 - 8 4 π - 2 2 = 2 ⋅ π 2 - 8 4 ⋅ π - 2 =

= 1 2 ⋅ π 2 - 8 π - 2

Passo 4

Para o centro de massa de y , teremos o mesmo processo

y - = 1 m ⋅ ∫ 0 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x y ⋅ x ⋅ d y ⋅ d x = 1 2 ⋅ m ⋅ ∫ 0 cos ⁡ x x ⋅ y 2 0 cos ⁡ x ⋅ d x =

= 1 2 ⋅ m ⋅ ∫ 0 π 2 x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ d x

Chamando f ' = cos 2 ⁡ x e g = x , temos que

∫ 0 π 2 x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ d x = x ⋅ 1 4 ⋅ 2 ⋅ x + sin ⁡ 2 ⋅ x 0 π 2 - 4 ⋅ ∫ 0 π 2 1 2 ⋅ x + 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ x ⋅ d x =

= 1 4 ⋅ x ⋅ 2 ⋅ x + sin ⁡ ( 2 ⋅ x - 4 ⋅ 1 2 ⋅ x 2 2 - 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 ⋅ x 0 π 2 =

= 1 8 ⋅ 2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ x + cos ⁡ 2 ⋅ 0 π 2 = π 2 - 2 16 - 1 8

Substituindo esse valor na primeira equação

1 2 ⋅ m ⋅ ∫ 0 π 2 x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ d x = 1 2 ⋅ π 2 - 1 ⋅ π 2 - 2 16 - 1 8 = π 2 - 2 16 - 1 8 π - 2 =

Resposta

m = π 2 - 1

x - = 1 2 ⋅ π 2 - 8 π - 2

y - = π 2 - 2 16 - 1 8 π - 2

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Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap e l a sc u r v a sy = 0ey = cos ⁡ x , - π 2 ≤ x ≤ π 2 ; ρ x , y = y é
Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap o ry = 1 - x 2e y = 0 ; ρ x , y = k y é
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a ∫ π / 2 π∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ
Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap o ry = x + 2e y = x 2 ; ρ x , y = k x 2 é