Enunciado

Nos Exercícios 19 e 20, encontre o trabalho realizado por F para

mover uma partícula uma vez em sentido anti-horário ao redor da

curva dada

F = 2xy3i + 4x2y2j

C: A fronteira da região “triangular” no primeiro quadrante delimitada superiormente pelo eixo x, a reta x = 1 e a curva y = x3.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, página 398). O trabalho realizado por F → = M i → + N j ‾ para mover uma partícula uma vez em sentido anti-horário ao redor da curva C é o resultado dessa integral.

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = 2 x y 3 i → + 4 x 2 y 2 j → atuando sobre uma região triangular limitada ao primeiro quadrante superiormente pelo eixo x , a reta x = 1 e a curva y = x 3 .Inicialmente definiremos M e N : M = 2 x y 3 e N = 4 x 2 y 2 Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ y = 6 x y 2 e ∂ N ∂ x = 8 x y 2

Passo 3

Para calcularmos o trabalho no sentido anti-horário substituimos ∂ M ∂ y = 6 x y 2 e ∂ N ∂ x = 8 x y 2 e m ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

W = ∬ R     8 x y 2 - 6 x y 2 d x d y = ∫ 0 1     ∫ 0 x 3     2 x y 2 d y d x   = ∫ 0 1     2 x y 3 3 0 x 3 d x = ∫ 0 1     2 3 x 10 d x = 2 33

Resposta

Assim, o trabalho realizado por F → para mover uma partícula uma vez em sentido anti-horário ao redor da curva C é 2 33 .

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