Enunciado

Calcule ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y =   x 2 + y .   3 x - y 2 e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6.

Passo 1

Do exercício 5 vem o Teorema de Green.

O Teorema de Green é definido como

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ K d Q d x - d P d y d A

Passo 2

Do enunciado tiramos que

P = x 2 + y

e

Q = 3 x - y 2

Logo calculando d Q d x e d P d y temos

d P d y = d x 2 + y d y = 1

d Q d x = d 3 x - y 2 d x = 3

Assim

d Q d x - d P d y = 2

Desta forma temos que

∫ C F → ⋅ d r → =   ∬ K d Q d x - d P d y d A = ∬ K 2 d A = 2 ⋅ 6 = 12

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 12

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