Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C . y d x - x d y

C é uma circunferência com centro na origem e r a i o = 4 .

Passo 1

Que tal desenharmos a curva C primeiro de tudo?!

Pra começar, podemos parametrizar a curva para facilitar a nossa integração! A representação paramétrica de uma circunferência é dada por:

x = 4 cos ⁡ t   ,   y = 4 sen ⁡ t     ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Portanto,

d x = - 4   s e n   t   d t ,     d y = 4 cos ⁡ t   d t

Os limites de integração serão de 0 a 2 π , pois por convenção, o caminho deve ser orientado em sentido anti-horário.

Passo 2

Nossa integral é dada por

∮ C . y d x - x d y

Substituindo os limites de integração e os valores de , y , d x   e   d y , temos:

∮ C . y d x - x d y = ∫ 0 2 π 4 s e n   t - 4 s e n   t   d t - 4 cos ⁡ t ) ( 4 cos ⁡ t   d t

∮ C . y d x - x d y = ∫ 0 2 π - 16 s e n 2 t - 16 cos 2 ⁡ t   d t

∮ C . y d x - x d y = - 16 ∫ 0 2 π d t

∮ C . y d x - x d y = - 16 × 2 π = - 32 π

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . y d x - x d y = - 32 π

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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)