Enunciado

Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Vamos fixar x e variar o y . Temos que a região fechada D é dada por 0 ≤ x ≤ 2 e a reta que delimita y na parte superior do triângulo é dada por y = 4 - 2 ⋅ x , tendo então que o mesmo varia da forma 0 ≤ y ≤ 4 - 2 ⋅ x . Vemos também que nossa curva C varia no sentido horário, logo para termos a variação no sentido positivo usaremos – C . Aplicando então o teorema de Green, ficamos com:

∫ - C F → ⋅ d r → = - ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ⋅ d A =

= - ∫ ∫ D ∂ ∂ x x ⋅ y + x ⋅ cos ⁡ x - ∂ ∂ y y ⋅ cos ⁡ x - x ⋅ y ⋅ sin ⁡ x ⋅ d A =

= - ∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 ⋅ x y - x ⋅ sin ⁡ x + cos ⁡ x - cos ⁡ x + x ⋅ sin ⁡ x ⋅ d y ⋅ d x =

= - ∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 ⋅ x y ⋅ d y ⋅ d x = - ∫ 0 2 y 2 2 0 4 - 2 ⋅ x ⋅ d x = - ∫ 0 2 1 2 ⋅ 4 - 2 ⋅ x 2 ⋅ d x =

= - ∫ 0 2 8 - 8 ⋅ x + 2 ⋅ x 2 ⋅ d x = - 8 ⋅ x - 4 ⋅ x 2 + 2 3 ⋅ x 3 0 2 = - 16 - 16 + 16 3 = - 16 3

Resposta

∫ - C F → ⋅ d r → = - 16 3

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