Enunciado

Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usando o teorema de Green.

6. ∮ C f → ⋅ d r → , onde f → = - 3 x 2 y , 3 x y 2 e C é a circunferência x 2 + y 2 + 4 y = 0 , no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos começar analisando a circunferência

x 2 + y 2 + 4 y = 0

x 2 + y 2 + 4 y + 4 = 4

x 2 + y + 2 2 = 2 2

Ou seja, temos uma circunferência com centro em ( 0 , - 2 ) e raio 2 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem é f → . Usando o teorema de Green, temos

∮ C f → ⋅ d r → = ∬ R 3 y 2 + 3 x 2 d x d y  

Passando para coordenadas polares (não esquecendo de multiplicar pelo Jacobiano, que nesse caso será igual a r ), temos

∮ C f → ⋅ d r → = ∬ R 3 ( r s e n θ ) 2 + 3 r c o s θ 2 r d r d θ  

= ∬ R 3 r 3 d r d θ  

= ∫ 0 2 π 36 d θ

= 72 π

Resposta

= 72 π

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