Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usando o teorema de Green.
6. onde e C é a circunferência , no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos começar analisando a circunferência
Ou seja, temos uma circunferência com centro em e raio .
Passo 2
O enunciado nos forneceu quem é . Usando o teorema de Green, temos
Pela função dada pelo enunciado, temos:
Ela é da forma:
Dessa forma, vemos que:
E
Calculando as derivadas parciais, temos:
O teorema de Green aplicado fica:
Passando para coordenadas polares (não esquecendo de multiplicar pelo Jacobiano, que nesse caso será igual a ), temos:
Simplificando, temos:
Pela identidade trigonométrica, temos:
Passo 3
Pelo problema, temos que nossos limites de integração serão:
E:
Montando nossa integral, teremos:
Resolvendo, ficamos com:
Aplicando os limites, temos:
O valor da integral será: