Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usando o teorema de Green.

6. ∮_C f→ ⋅ d r→, onde f = (-3x^2y, 3xy^2) e C é a circunferência x^2 + y^2 + 4y = 0 , no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos começar analisando a circunferência

x 2 + y 2 + 4 y = 0

x 2 + y 2 + 4 y + 4 = 4

x 2 + y + 2 2 = 2 2

Ou seja, temos uma circunferência com centro em ( 0 , - 2 ) e raio 2 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem é f → . Usando o teorema de Green, temos

∮ C f → ⋅ d r → = ∬ R ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y  

Pela função dada pelo enunciado, temos:

f → = - 3 x 2 y , 3 x y 2

Ela é da forma:

f → = P , Q

Dessa forma, vemos que:

P = - 3 x 2 y

E

Q = 3 x y 2

Calculando as derivadas parciais, temos:

∂ Q ∂ x = 3 y 2

∂ P ∂ y = - 3 x 2

O teorema de Green aplicado fica:

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y

Passando para coordenadas polares (não esquecendo de multiplicar pelo Jacobiano, que nesse caso será igual a r e que o centro da circunferência é em 0 , - 2 ), temos:

x = r c o s θ

y = r s e n θ - 2

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y = ∬ R 3 r s e n θ - 2 2 + 3 r c o s θ 2   r   d r   d θ  

Simplificando, temos:

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y = ∬ R 3 r 2 s e n 2 θ - 4 r s e n θ + 4 + 3 r 2 c o s 2 θ   r   d r   d θ  

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y = ∬ R 3 r 2 s e n 2 θ - 12 r s e n θ + 12 + 3 r 2 c o s 2 θ   r   d r   d θ  

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y = ∬ R 3 r 2 s e n 2 θ + c o s 2 θ - 12 r s e n θ + 12   r   d r   d θ  

Como s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1 ...

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y = ∬ R 3 r 3 - 12 r 2 s e n θ + 12 r   d r   d θ  

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y = 3 ∬ R r 3 - 4 r 2 s e n θ + 4 r   d r   d θ  

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Passo 3

Pelo problema, temos que nossos limites de integração serão:

0 ≤ r ≤ 2

E:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Montando nossa integral, teremos:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 - 4 r 2 s e n θ + 4 r   d r   d θ

Resolvendo, ficamos com:

3 ∫ 0 2 π r 4 4 - 4 r 3 3 s e n θ + 2 r 2 0 2   d θ

3 ∫ 0 2 π 12 - 32 3 s e n θ   d θ

Integrando em θ ...

3 12 θ + 32 3 c o s θ 0 2 π

3 24 π

72 π

E fim!

Resposta

∮ C f → ⋅ d r → = 72 π

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