Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usando o teorema de Green.

6. ∮ C f → ⋅ d r → , onde f → = - 3 x 2 y , 3 x y 2 e C é a circunferência x 2 + y 2 + 4 y = 0 , no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos começar analisando a circunferência

x 2 + y 2 + 4 y = 0

x 2 + y 2 + 4 y + 4 = 4

x 2 + y + 2 2 = 2 2

Ou seja, temos uma circunferência com centro em ( 0 , - 2 ) e raio 2 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem é f → . Usando o teorema de Green, temos

∮ C f → ⋅ d r → = ∬ R ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y  

Pela função dada pelo enunciado, temos:

f → = - 3 x 2 y , 3 x y 2

Ela é da forma:

f → = P , Q

Dessa forma, vemos que:

P = - 3 x 2 y

E

Q = 3 x y 2

Calculando as derivadas parciais, temos:

∂ Q ∂ x = 3 y 2

∂ P ∂ y = - 3 x 2

O teorema de Green aplicado fica:

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y

Passando para coordenadas polares (não esquecendo de multiplicar pelo Jacobiano, que nesse caso será igual a r ), temos:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

∬ R 3 y 2 + 3 x 2   d x   d y = ∬ R 3 r s e n θ 2 + 3 r c o s θ 2   r   d r   d θ  

Simplificando, temos:

∬ R 3 r 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ   r   d r d θ  

Pela identidade trigonométrica, temos:

∬ R 3 r 3   d r   d θ

Passo 3

Pelo problema, temos que nossos limites de integração serão:

0 ≤ r ≤ 2

E:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Montando nossa integral, teremos:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 r 3   d r   d θ

Resolvendo, ficamos com:

∫ 0 2 π 3 r 4 4 0 2   d θ

Aplicando os limites, temos:

12 ∫ 0 2 π   d θ = 12 ⋅ 2 π

O valor da integral será:

24 π

Resposta

∮ C f → ⋅ d r → = 24 π

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