Enunciado

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = 1 3 t 3 ,   t 2 ,   2 t

Passo 1

O primeiro passo é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r ' t = t 2 ,   2 t ,   2

O módulo do vetor tangente, calculado acima, é:

r ' t = t 4 + 4 t 2 + 4

r ' t = t 2 + 2 2

r ' t = t 2 + 2

Passo 2

O vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = r ' t r ' t

T t = 1 t 2 + 2 t 2 ,   2 t ,   2

T t = t 2 t 2 + 2 , 2 t t 2 + 2 , 2 t 2 + 2

Calculado o vetor unitário T ( t ) podemos obter sua derivada:

T ' t = ( 2 t t 2 + 2 - t 2 ( 2 t ) ( t 2 + 2 ) 2 , 2 t 2 + 2 - 2 t ( 2 t ) ( t 2 + 2 ) 2 ,   0 - 2 ( 2 t ) ( t 2 + 2 ) 2 )

T ' t = 4 t ( t 2 + 2 ) 2 , - 2 t 2 + 4 ( t 2 + 2 ) 2 ,   4 t ( t 2 + 2 ) 2

Passo 3

O módulo de T ' t deve ser calculado. Temos:

T ' t = 4 t ( t 2 + 2 ) 2 2 + - 2 t 2 + 4 ( t 2 + 2 ) 2 2 + 4 t ( t 2 + 2 ) 2 2

T ' t = 16 t 2 + 4 t 4 - 16 t 2 + 16 + 16 t 2 ( t 2 + 2 ) 2 2

T ' t = 2 t 2 + 4 2 ( t 2 + 2 ) 2 2

T ' t = 2 t 2 + 4 t 2 + 2 2 = 2 ( t 2 + 2 ) t 2 + 2 2

T ' t = 2 t 2 + 2

Passo 4

Com base nos resultados anteriores podemos calcular o vetor normal unitário

N t = T ' t T ' t

Temos

N t = 1 2 t 2 + 2 4 t ( t 2 + 2 ) 2 , - 2 t 2 + 4 ( t 2 + 2 ) 2 ,   4 t ( t 2 + 2 ) 2

N t = t 2 + 2 2 4 t ( t 2 + 2 ) 2 , - 2 t 2 + 4 ( t 2 + 2 ) 2 ,   4 t ( t 2 + 2 ) 2

N t = 2 t t 2 + 2 , - t 2 + 2 t 2 + 2 ,   2 t t 2 + 2

Passo 5

O raio de curvatura é dado por

k t = T ' t r ' t

k t = 2 t 2 + 2 t 2 + 2

k ( t ) =   2 t 2 + 2 2  

Resposta

T t = t 2 t 2 + 2 , 2 t t 2 + 2 , 2 t 2 + 2

N t = 2 t t 2 + 2 , - t 2 + 2 t 2 + 2 ,   2 t t 2 + 2

k ( t ) =   2 t 2 + 2 2  

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