Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   ( z + x 2 y )   d S

S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 que está entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante

Passo 1

Pessoal, vamos ter S dado por:

r u ,   v = u   i + c o s   v   j + s e n   v   k   ,       0 ≤ u ≤ 3   ,       0 ≤ v ≤ π 2

Então,

r u × r v = i + 0   j + 0   k × 0   i - s e n   v   j + cos ⁡ v k = - cos ⁡ v j - s e n   v   j

r u × r v = cos 2 ⁡ v + s e n 2   v = 1

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S   ( z + x 2 y )   d S = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 s e n   v + u 2 cos ⁡ v 1   d u   d v

Passo 2

Show! Agora vamos resolver a integral:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 s e n   v + u 2 cos ⁡ v   d u   d v = ∫ 0 π / 2 u   s e n   v + u 3 3 cos ⁡ v 0 3 d v = ∫ 0 π / 2 ( 3   s e n   v + 9 cos ⁡ v ) d v = - 3 cos ⁡ v + 9   s e n   v 0 π / 2 = 0 + 9 + 3 - 0 = 12  

Resposta

12

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